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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：三角関数を使わずに∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx）
三角関数を使わずに積分の等式を示す方法
このQ&Aのポイント
- 三角関数を使わずに∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=2∫[-1,1]√(1-x^2) dxの等式を示す方法について調べました。
- 三角関数の定義arcsin(x)=∫[0,x]1/√(1-x^2) dxと関連付けて、三角関数を使わずに等式を導く方法を検討しました。
- また、∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dxとの関連も考えながら、三角関数を用いずに等式を証明する方法について考察しました。
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質問者が選んだベストアンサー
∫[-1,1]√(1-x^2) dx ＝[x√(1-x^2)][-1,1]＋∫[-1,1]x^2/√(1-x^2) dx ＝－∫[-1,1]√(1-x^2) dx＋∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx ∴ 2∫[-1,1]√(1-x^2) dx ＝∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx
お礼
すばらしい回答に感謝です。 ∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx =2∫[-1,1]√(1-x^2) dx =∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx の後半もどなたかお願いいたします。
補足
∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=∫[-∞,∞]1/(1+y^2)dyを証明する。 y=x/√(1-x^2)とおく。 x=-1の時y→-∞、x=1の時y→∞ x=y√(1-x^2)から dx/dy=√(1-x^2)+y(dx/dy){-x/√(1-x^2)} (dx/dy){1+xy/√(1-x^2)}=√(1-x^2) (dx/dy)(1+y^2)=√(1-x^2) 従って、 ∫[-1,1]{1/√(1-x^2)}dx=∫[-∞,∞]{1/(1+y^2)}dy