∫｛x/(x+1)｝dxの解き方

質問

とても初歩的なのですが、積分についての質問です。
∫｛x/(x+1)｝dxの解き方が分かりません。

以下のように解きました。

∫｛x/(x+1)｝dx
x+1=tとする
x=t-1よりdx=dt
よって
∫｛x/(x+1)｝dx=∫｛(t-1)/t｝dt
=∫(1-1/t)dt
=t-log(t)+C (C:積分定数)
=(x+1)-log(x+1)+C

こうなったのですが、どうやら計算違いのようで、解は「x-log(x+1)+C」となっていました。
解が出なかったわけではなく、最初の時点で「x/(x+1)」を「1-1/(x+1)」と変形したらちゃんと解は出たのですが、上記の解法の間違いが分からず、もやもやしています。
どこが間違っているのでしょうか。
置換積分が使えるのは特定の数式の場合のみなのでしょうか。
積分は不得意なので、見苦しい点あるかと思いますが、ご指摘お願いします。

回答No.1

hiro822 · ベストアンサー

見たかんじ合っていそうです。

=(x+1)-log(x+1)+C

=x-log(x+1)+（C+1）

C+1を積分定数と考えればいいでしょう。

お礼

なるほど！
Cで表したもののみを積分定数と見なしていたので、目から鱗でした。
素早い回答をありがとうございました。