複素積分 ∫[-∞→∞] (sinx)/x dxについて
∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0（証明長くなるので省略)
また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分けるとF(z)-(1/z)はz=0で正則なのでε→0のとき積分の値は0 … (2)
∫[D2] (1/z) dz は z=εexp(iθ)とおいて計算すると-πiになる
(A)でX,Y→∞ ε→0とすると
∫[-∞→∞] (exp(ix)/x dx - πi =0 …(B)
exp(ix)=cos(x)+isin(x)より、
∫[-∞→∞] (cosx)/x dx + i∫[－∞→∞] (sinx)/x dx = πi
両辺の虚部をとって
虚部をとって∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
ここまでが教科書での解答の大まかな流れです
疑問点は以下のとおりです
A:(1)で0を避けた理由
B:(2)でF(z)=F(z)-(1/z)+(1/z)と分けたのはどこから来たのか
C:(2)でF(z)-(1/z)はz=0で正則とあるがz=0で1/zは定義できないのに正則?
D:D1とD3は回答中で触れてないが無視していいのか
E:この問題はタイトルの積分を留数定理で解けという問題だったのですが留数定理使ってないような？
長くなりましたがよろしくお願いします
お礼
解くことができました！ ありがとうございます。