∫[0≦x<∞]dx・f(x)は

質問

lim(p→-0)・∫[p<x<∞]・f(x)と同値でしょうか？

そして

∫[0<x<∞]dx・f(x)は
lim(p→+0)・∫[p<x<∞]・f(x)と同値でしょうか？

そのため

∫[0≦x<∞]dx・δ(x)=1
∫[0<x<∞]dx・δ(x)=0

なのでしょうか？

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

関数ｆ（ｘ）に与えられた条件と、
積分の種類によって違うのでは。

下記参照してください。
「積分」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86

「ディラックのデルタ関数」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ありがとうございます
参考サイトによると
∫[0<t<∞］dt・δ(t)=∫[-∞<t<0］dt・δ(t)=1/2
ですね
この辺は考え方によって違いますね？
だから使うたびに定義を示さないといけないようですね
[0,∞)=∩[x<0]・(x,∞)
（非加算無限個の共通部分）によって定義されるものとすると
∫[0<t<∞］dt・δ(t)=1
とするべきですね？

回答No.3

graphaffine

前の質問でもそうでしたが、背景説明が全く無いので
議論自体が無意味です。もし、超関数の話でしたら、
きちんとそのことを明言してください。

＞lim(p→-0)・∫[p<x<∞]・f(x)
これも意味が不明です。
もし通常の定積分のつもりでしたら、
＞∫[0<x<∞]dx・f(x)は
lim(p→+0)・∫[p<x<∞]・f(x)と同値でしょうか？
は、定義そのもので疑問の余地は無いはずですが。

補足

失礼しました
書き間違いをしていました
なお背景はありません
質問を訂正します

∫[0≦x<∞]dx・f(x)は
lim(p→-0)・∫[p<x<∞]dx・f(x)と同値でしょうか？

∫[0<x<∞]dx・f(x)は
lim(p→+0)・∫[p<x<∞]dx・f(x)と同値でしょうか？

∫[0≦x<∞]dx・δ(x)=1
∫[0<x<∞]dx・δ(x)=0

なのでしょうか？

回答No.2

sudoufu

同値かどうかは包含関係を考えればわかりますよ。
lim(p→-0)・∫[p<x<∞]・f(x)⊃∫[0≦x<∞]dx・f(x)
は自明ですが
lim(p→-0)・∫[p<x<∞]・f(x)⊂∫[0≦x<∞]dx・f(x)
が成立するかどうかは自明でないので証明が必要です。
互いに包含しあうなら同値に、一方のみなら同値ではないです。
同様に∫[0<x<∞]dx・f(x)とlim(p→+0)・∫[p<x<∞]・f(x)の包含関係を調べて互いに包含しあうなら同値に、一方のみなら同値ではないです。

お礼

ありがとうございます
使うときの定義次第だと思いますが
合理的な定義である根拠として

[0,∞)=∩[x<0]・(x,∞)
(0,∞)=∪[0<x]・(x,∞)

を考えました