置換積分の積分範囲について

質問

置換積分をする場合、積分範囲を求めるときは、ｘの値を代入して求めるとありますが、cosθに
すると積分範囲を決めることができません。
∫√(r^2-x^2)dx　積分範囲 -r≦x≦r でx=rsinθと置くと、積分範囲は、x=-rの時θ=-π/2、
x=rの時θ=π/2となる。
ここで、x=rcosθと置くと、積分範囲は、x=-rの時θ= -π、x=rの時θ=0となる。すなわち、
∫√(r^2-x^2)dx　積分範囲 -r≦x≦r でx=rcosθと置くと積分範囲 -π≦θ≦0 となり、これで
計算すと、-π r^2/2となりマイナスとなってしまう。
ここで、積分範囲をπ≧θ≧0 とすると計算結果はプラスとなります。
なぜ、π→０となるのか、積分範囲の求め方を教えてください。

回答No.5

eatern27b

すいません、しばらく忙しかったのでずいぶん遅くなってしまいました。

> =∫ [-π, 0] r |sinθ| (-rsinθ) dθ
> = -r^2 ∫ [-π,0](sinθ)^2 dθ
この変形が間違っています。

#2に書いたように-π≦θ≦0の範囲ではsinθ≦0ですので、
|sinθ|=-sinθです。
この負符号と、(-rsinθ)の部分の負符号で打ち消しあうので
+r^2 ∫ [-π,0](sinθ)^2 dθ
になります。

回答No.4

eatern27b

>積分範囲を＋πにすれば正解となります。なせ、＋になるのかが解かりません。
積分の下端を-πでも正しく計算すれば正しい結果は得られるので、+πでなければならない、という訳ではありません。

お礼

ありがとうございます。計算式を下に書きました。何処を正しく計算すればよいのでしょうか？
>ここで、x=rcosθと置くと、
積分範囲は、x=-rの時θ=-π、x=rの時θ=0となる。
I= ∫ [-π, 0] r√(1-cos^2(θ)) (-rsinθ) dθ
=∫ [-π, 0] r |sinθ| (-rsinθ) dθ
= -r^2 ∫ [-π,0](sinθ)^2 dθ
半角の公式より
= -r^2 ∫ [-π,0] 1/2[1-cos(2θ)]dθ
= -r^2 /2[θ-(1/2)sin(2θ)] [-π,0]
=-(1/2)πr^2
となります。

回答No.3

info33

>積分範囲の求め方を教えてください。

> I=∫ [-r, r]√(r^2-x^2)dx , (0≦r)
偶関数の積分なので積分 範囲は [ 0 ~ r ]
I= 2∫ [0, r]√(r^2-x^2)dx

>x=rsinθと置くと、
積分範囲は、x=0の時θ=0、x=rの時θ=π/2となる。
I= 2∫ [0, π/2] r√(1-sin^2(θ)) rcosθ dθ
=2∫ [0, π/2] r |cosθ| rcosθ dθ
= r^2 ∫ [0, π/2] 2(cosθ)^2 dθ
半角の公式より
= r^2 ∫ [0, π/2] [1+cos(2θ)]dθ
= r^2 [θ+(1/2)sin(2θ)] [0, π/2] = r^2 (π/2)
=(1/2)πr^2

>ここで、x=rcosθと置くと、
積分範囲は、x=0の時θ=π/2、x=rの時θ=0となる。
I= 2∫ [π/2, 0] r√(1-cos^2(θ)) (-rsinθ) dθ
=2∫ [π/2, 0] r |sinθ| (-rsinθ) dθ
= r^2 ∫ [0, π/2] 2(sinθ)^2 dθ
半角の公式より
= r^2 ∫ [0, π/2] [1-cos(2θ)]dθ
= r^2 [θ-(1/2)sin(2θ)] [0, π/2] = r^2 (π/2)
=(1/2)πr^2

お礼

有難うございます。ｃｏｓθとした時の積分範囲の+π/2となるところが解かりません。どうして＋となるのかが解かれば教えてください。

回答No.2

eatern27b

積分範囲を-π→0としても正しく計算すればπr^2/2になります。
貴方の計算でそうならなかった理由は、貴方の計算を具体的に書いてくれないとわかりませんが、もしも√(r^2-x^2)=rsinθとしたのならそこが間違っています。
-π≦θ≦0の時sinθ≦0ですので、√(r^2-x^2)=|rsinθ|=-rsinθになります

お礼

有難うございます。ＮＯ３の方が計算してくれていますが、積分範囲を＋πにすれば正解となります。なせ、＋になるのかが解かりません。

回答No.1

alain13juillet

積分区間を-π→0にすると半円の下の部分の積分（y<=0)になるので、マイナスです。θを反時計回りにプラスと取っているので、そうなります。

お礼

有難うございます。範囲の求め方には、問題はないのですね。角度の取り方ですね。