図形の難問について

質問

図形の難問について

この画像のような問題が、テストに出題されました。
中2までの範囲で作られたテストなのですが、解いてみたところ、相似（中３で学習）を利用しないと解けませんでした。
相似の学習内容を使わずに解く方法は無いのでしょうか？

また、直角三角形の高さを区切った比と、斜辺を同じ高さで区切った比は等しいのでしょうか？
（これも相似の考え方を使わずに考えられるのでしょうか？）

解答と解説が、テスト当日休んでいた人がいて、その人がテストを５教科分終えるまで渡されません。
しかし、今日（2010/05/14）が金曜日なので、月曜日まで渡されません。
答えが気になってしまい、他のことが手につきません。

ご回答よろしくお願いします。

問題文：

四角形ABCDは正方形である。
対角線BD上に点Eがあり、線分AEと辺BCをそれぞれ延長した直線の交点をF、線分AFと辺CDの交点をGとする。
ただし、BE>EDとする。
また、GD=CGで、CE=2EG（CE:EG=2:1）である。
このとき、四角形BCGEの面積は、正方形ABCDの何倍か？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

E が対角線BD 上にあることから, AE = CE であることは大丈夫でしょうか?
これさえ OK なら, 正方形ABCD の面積に対する△DEG の面積比は△AED 経由で求まりますね.

回答No.4

ajnsuqbaas

> また、GD=CGで、CE=2EG（CE:EG=2:1）である。
これ、冗長な条件ですね。問題文としては不要です。

解の過程が冗長かもしれませんが…
ただ、その過程で見過ごせない別の図形の特徴が現れます。

1)
Eをとおり、それぞれADとBC、ABとDCに平行な線を引き、
AB,CD,AD,BCとの交点を、それぞれP,Q,R,Sとする。

2)
△ABEと△DGEは相似である。（対頂角、錯角）
相似比は辺の長さから２：１である（DG=GC=2ABから）

3)
2)から
△APEと△GEDは相似である。（対頂角、錯角）
相似比は辺の長さから２：１である（AE=2EG：２）の三角形の相似比）
よってPE=2EG

4)
△REDと△QEDは合同（斜辺共通と錯角または斜辺共通と1この直角）
よっRE:ES=1:2

5)
よって
△EBCの面積は、BCを底辺とし、高さをQD上にもつ任意の三角形の面積の
2/3である
よって△DBCの面積の2/3でもあり、正方形ABCDの1/3となる。

6)
2)から△CGEの面積は、CDを底辺とし、高さをAB上にもつ任意の三角形の
高さが１／３、底辺が1/2だから
面積は1/6である
よって正方形ABCDの1/12

7)
5)6)の和であるから
1/3+1/12=5/12

============
ここで、一つ面白い事実に気がつきます。
正方形を折り紙に見立てます。
折り紙を、長方形になるように半分におります。
ひらいて、対角線をおります。
二つの折すじに辺を合わせるようにおります。

そうすると
…辺の三等分ができあがります。

これは、ユークリッド幾何学的には大事件です。
定規とコンパスでは作図出来ないはずですから。
折るという、軽量を含まない別の操作を許すことで、
三等分ができてしまうのです。
長方形でも出来ます。
２）～４）の証明の過程でそれが証明されています。
この折り紙定理を、発見者にちなんで「芳賀の定理」といいます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
できれば相似の考え方を使わない方法をお教えいただければ幸いでした。

回答No.3

banakona

＞また、直角三角形の高さを区切った比と、斜辺を同じ高さで区切った比は等しいのでしょうか？
＞（これも相似の考え方を使わずに考えられるのでしょうか？）

これこそ相似を使いたいところだけど、下図のように区切って、黄色の三角形と合同な三角形がいくつあるかで説明が付く。

２：１だからこれで良かったけど、２９：１３とかだと区切るのが大変。

もっと大変なのが（まだ習っていないかもしれないけど）無理数の場合。例えば１：√２だと厳密には書けない。無数に区切ればいいんだけど。

お礼

難しく考えずパズルのように考えればよかったのですね。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

あ, 間違えた. △AED 経由じゃなくって△AGD 経由だ.

お礼

なるほど！
別の三角形を通してみればよかったのですね。
一つの三角形にとらわれてドツボにはまってしまっていました。
ご回答ありがとうございました。