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相似を使った平行四辺形の面積

相似を使った平行四辺形の面積についての質問です。 「平行四辺形ABCDの辺AD上に三等分点E、Fをとり、BとEを結ぶ。対角線ACと線分BEとの交点をP、対角線ACと対角線BDとの交点をOとする。平行四辺形ABCDの面積が48のとき、三角形BOPの面積はいくらか。」 △ABD:△ABE=3:1、△APE:△PBC=1:3までは、相似比で求められたのですが そこから先がよくわからなくなってしまいました。 よろしくお願いします。

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  • kagakusuki
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回答No.2

 ANo.1です。  申し訳御座いません、間違えました。  正しくは以下の通りです。  点Oは対角線BDや対角線ACの中点なのですから RS:OQ=2:1 2OQ=RS=h OQ=h/2  △APEと△BPCは合同であり、且つAE:BC=1:3なのですから PR:PS=3:1 RS:PR=(3+1):3=4:3 4PR=3RS=3h PR=3h/4 平行四辺形ABCDの面積=BC×h △BCOの面積=BC×h/2÷2=BC×h/4 △BCPの面積=BC×3h/4÷2=BC×3h/8 なのですから △BOPの面積=△BCPの面積-△BCOの面積 =BC×3h/8-BC×h/4 =BC×h/8 =(BC×h)/8 =平行四辺形ABCDの面積/8 =48/8 =6

jethroojisan
質問者

お礼

ありがとうございます。三角形の高さで相似比を考えていくというのは 理解しているのですが、補助線ひいて考えないとやはりよくわからなくなりますね。 丁寧な解説わかりやすかったです。

その他の回答 (2)

  • yyssaa
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回答No.3

△・・・で△・・・の面積を表すものとします。 質問者さんは△APE:△PBC=1:3とされていますが、面積比 は辺の長さの二乗比になるので、△APE/△PBC=1/9・・・(1)です。 △ABE/ABD=1/3から△ABE=48*(1/2)*(1/3)=8・・・(2) (1)、(2)から△ABE-△APE+△PBC=8-△APE+9*△APE=8+8*△APE =△ABC=24、よって△APE=(24-8)/8=2 求める△BOP=△ABO-△ABP=△ABO-(△ABE-△APE) =(1/4)*48-(8-2)=12-6=6・・・答え になります。

jethroojisan
質問者

お礼

面積比は相似比の二乗まではわかっていました・・・。 すっきりしていてとてもわかりやすいです。 ありがとうございました。

  • kagakusuki
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回答No.1

 今仮に、点Oから辺BCに向かって垂線を引き、その垂線と辺BCとの交点を点Qとし、同様に点Pから辺BCに向かって引いた垂線と辺BCとの交点を点Rとし、点Pから辺ADに向かって引いた垂線と辺ADとの交点を点Sとします。  また、線分RSの長さをhと置きます。  点Oは対角線BDや対角線ACの中点なのですから RS:OQ=2:1 2OQ=RS=h OQ=h/2  △APEと△BPCは合同であり、且つAE:BC=1:3なのですから PR:PS=3:1 RS:PR=(3+1):3=4:3 4PR=3RS=3h PR=3h/4 平行四辺形ABCDの面積=BC×h △BCOの面積=BC×h/2 △BCPの面積=BC×3h/4 なのですから △BOPの面積=△BCPの面積-△BCOの面積 =BC×3h/4-BC×h/2 =BC×h/4 =(BC×h)/4 =平行四辺形ABCDの面積/4 =48/4 =12

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