図形問題

質問

数学で解き方が分からない問題があります。

図のように、AB＝6cm、AD＝8cmの長方形ABCDがある。対角線BD上にDE＝4cmとなるように点Eをとる。2点A、Eを通る直線と辺CDとの交点をFとする。また、辺AB上にAG＝5cmとなるような点Gをとり、線分FGと対角線BDとの交点をHとする。
このとき次の問に答えよ。

（問）BH:HDを最も簡単な整数の比で表わせ。
答えは、1:4です。
（問）△EHFの面積を求めよ。
答えは、32／5です。

求め方が分かる方がおられたら教えて欲しいです。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

まず、問題に書かれている他に、長さを求められる辺があります。
たとえば、「対角線」です。

すると、等しい長さになるところが、いくつかでてきます。
そこから、大きさが等しい角も、いくつかでてきます。
さらに、平行線の性質からも大きさが等しい角がでてきます。

一つ目の問いは、辺BHと辺HDをそれぞれ含む三角形の相似を考えます。
二つ目の問いは、「残りもの」で考えれば求められると思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

noname#232123

まず、BE=10-4=6(cm)、cos∠CDB=3/5,(sin∠CDB=4/5) です。
ベクトルAB=b, ベクトルAD=d とし、矢印を省略して書きます（他のベクトルも同様)。

AE=(2/5)b+(3/5)d であり、
AF=k*AE (k>1)、DF=l*b (l<1) とおくと、AD+DF=AF より、(l, k)=(2/3, 5/3) を得ます。
すなわち、AE:EF=3:2, DF=4(cm). となります。

また、BH:HD=t:(1-t) とすると、AH=(1-t)b+t*d,
GH=s*GF (s<1) とすると、
(5/6)b+s*GF=AH すなわち、(5/6)b+s*(d-(1/6))*b=(1-t)b+t*d となりこれから、s=t=1/5.
よって、BH:HD=1:4.

最後に三角形EHFについて、
上の結果より、HE=4(cm).
Fから対角線BDに下ろした垂線の長さhは、h=DF*sin∠CDB=4*4/5=16/5.
よって三角形EHFの面積Sは、
S=(1/2)*4*(16/5)=32/5(cm^2)
となります。

お礼

ありがとうございました。