積分 ∫arcsin(2x)dx を解くのに苦戦しています。

質問

積分　∫arcsin(2x)dx　を解くのに苦戦しています。

部分積分を用いてx*arcsin(2x)-∫x/(√1-4x^2) dx　としたのですが、後半部分の積分がうまくいかず、
解答である x*arcsin(2x)+{(√1-4x^2)/2}になりません。

恐縮ですがご教授いただけると幸いです。よろしくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

後半は ∫2x/√(1-4x^2)dx　では？

√f(x)の微分は f '(x)/{2√f(x)}なので、
-2x/√(1-4x^2)　はこの形になっています。

{√(1-4x^2)} ' =-4x/√(1-4x^2)だから
-2x/√(1-4x^2)の積分は　{√(1-4x^2)}/2　です。

お礼

2xを微分するのを忘れていました。頭の中で考えていたので、ずっと堂々巡りだったので、回答がわかるとスッキリしました。すぐに回答していただきありがとうございました。

回答No.4

muturajcp

2x=sinθ
とすると
(dx/dθ)=(1/2)cosθ
(d/dθ)(θsinθ+cosθ)=θcosθ
だから
∫θdx
=(1/2)∫θcosθdθ+c
=(1/2)(θsinθ+cosθ)+c
=(1/2)(2xarcsin(2x)+√(1-4x^2))+c
=x*arcsin(2x)+{(√(1-4x^2))/2}+c

お礼

sinΘで置く方法を式で示していただきスムーズに、前の回答してくださった方の置換の方法を実践し、理解することができました。回答していただきありがとうございました。

回答No.3

alice_44

え～？
まず最初に、
2x = sinθ で置換しようよ。

お礼

合成関数の2xを微分し忘れていたせいでゴチャゴチャになっていたのですが、sinΘで置く方法が思いつかなかったので、別の問題を解く際に参考にしたいと思います。本当にありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

x(1-x^2)^{-1/2}の原始関数は求められますか？

f(x)=1-x^2とおけば
x(1-x^2)^{-1/2}
= (-1/2) f'(x) f(x)^{-1/2}
なんだから合成関数の微分を逆に考えればいいのです．
つまり原始関数は
(-1/2) 2f(x)^{1/2} = f(x)^{1/2}

これが分かれば，x(1-4x^2)^{-1/2}もほぼ同じです．

お礼

逆に考えると案外簡単にできました。合成関数の微分の逆という考えを別の問題で詰まった際に使ってみようと思います。ありがとうございました。