不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+Cの証明で

質問

不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C
を証明ですが、

x=sin(θ)と置換すると、
dx=cos(θ)dθより、

∫dx/√(1-x^2)
=∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ))
=∫cos(θ)dθ/|cos(θ)|

ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?

回答No.2

info22 · ベストアンサー

もっと基礎的なことを理解していないから
＞ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?
こういった愚問をする事になるわけです。

被積分関数
1/√(1-x^2)
の暗黙の定義域があることを認識してましたか？

(1)分数の分母はゼロでない。→ x≠1
(2)√内は正またはゼロでなければならない。→-1≦x≦1
この２つの条件を満たすxの領域は
-1＜x＜1
です。これが定義域です。

この定義域を置換の際に、互いに一価関数の関係で、受継がないといけませんね。
x=sin(θ)
と置換する場合、x⇔θが互いに１:１の関係で置換関係（互いに一価関数の関係）にする為には、θの値域はどうなりますか？
-1＜x＜1なる任意のxに対してθが１つだけ対応する（一意的に定まる）ためのθの値域は
-π/2＜θ＜π/2
ですね。この値域が置換後のθの定義域になります。
このθの定義域では
cos(θ)＞0ですね。

だったら
＞　=∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ))
＞　=∫cos(θ)dθ/|cos(θ)|
√(cos^2(θ))=cos(θ)＞0
|cos(θ)|=(cosθ)＞0

だと分かるでしょう。

=∫dθ=θ+C

θ⇔xの置換でθとxは１：１に対応する関係にありますから
x=sin(θ)　⇔　θ=arcsin(x)
暗黙の定義域として　-1＜x＜1、-π/2＜θ＜π/2のもとで再度置換ができることを忘れないで下さい。

=arcsin(x) +C

回答No.1

fuuraibou0

不定積分で　ｘ＝sin(θ)　と置いた場合、θ＝０～π/２　で、cos(θ)＞０　だから、√cos^2(θ)＝cos(θ)　です。

よって、∫cos(θ)dθ/√{cos^2(θ)}＝∫dθ＝θ＝sin^-1(ｘ)＋Ｃ　ですよ。

なお、定積分の場合、ｘ　が　０～ａ　で、θ　が　０～π/２　なら、cosθ＞０　で、√cos^2θ＝cosθ　ですが、もし、θ　が　π～π/２　になるなら、√cos^2θ＝－cosθ　にする必要があります。

お礼

不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C

において、xの範囲は-1≦x≦1だから、
x=sin(θ)と置換した時点で、-π/2≦θ≦π/2と考えるようにすれば、
cos(θ)＞０
が分かるのですね。

ありがとうございました。