積分問題∫√(x^2+a)dxです。

質問

∫√(x^2+a)dxの積分が分かりません。∫1/√(x^2+a)dxは部分積分を用いて、ｔ＝ｘ＋√(x^2+a)とおいてlog|x+√(x^2+a)|+c で解けましたが、同じようにできるのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

I =∫√(x^2+a)dxとおいて,
部分積分の公式を用いると

I = x√(x^2+a)-∫{x^2/√(x^2+a)}dx
= x√(x^2+a) -∫{(x^2+a)/√(x^2+a)}dx +∫{a/√(x^2+a)}dx
= x√(x^2+a) -∫√(x^2+a)dx +∫{a/√(x^2+a)}dx

2 I = x√(x^2+a) +∫{a/√(x^2+a)}dx
= x√(x^2+a)+a∫{1/√(x^2+a)}dx

>∫1/√(x^2+a)dxは部分積分を用いて、ｔ＝ｘ＋√(x^2+a)とおいて log|x+√(x^2+a)|+c で解けましたが、

2 I = x√(x^2+a) +a (log|x+√(x^2+a)|+c)
C=ac/2 とおいて.

I =(1/2)x√(x^2+a) + (a/2) log|x+√(x^2+a)| +C ... (Ans.)

お礼

info33さま
有難うございます。分かりました。

回答No.1

EH1026TOYO

I=∫√(x^2+a)dxとすれば
I=x√(x^2+a)-∫{x²/√(x^2+a)}dx
=x√(x^2+a)-I+∫{a/√(x^2+a)}dx

2I=x√(x^2+a)+a∫{1/√(x^2+a)}dx
=x√(x^2+a)+a(x+log|x+√(x^2+a)|+Cだから

I=∫√(x^2+a)dx=(1/2)*{x√(x^2+a)+a(x+log|x+√(x^2+a)|}+C

お礼

EH1026TOYOさま
有難うございます。