∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dxという定積分の性質の証明について
aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。
不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学１」（三村征雄、岩波全書）です。
この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の場合は容易ですが、α≦0のときにはsup(-f(x))=-inff(x)であることを示してからひとつの補題を証明し、その後に上の証明に取り掛かっています。これによると、この定理は、どうも「容易なので省略する」とはいえないような気がします。
そこでお尋ねですが、
1 αの場合分けをしないなどして、定積分の定義から容易に、それこそ2,3行ぐらいで証明する手法はありますか?
（ただし、f(x)が連続関数であるときの定理∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)（F(x)はf(x)の原始関数）というルートは使わないものとします。）
2 もし、容易でないにもかかわらず証明を省略する場合は紙数の都合によるのでしょうか?
3 初学者には容易ではないのに、著者がそう判断してしまっているということはありえますか?
以上、よろしくお願いいたします。
お礼
ありがとうございます！！ 助かりました(^-^")/ 数学はホントに苦手で、でも今度テストがあって焦って勉強しています・・・。 ありがとうございました。