不定積分

質問

こんばんわ。私は今大学一年生で、今学期「解析概要」という授業をとっています。
そこでの不定積分の問題なんですが、分からないものがあったのでよかったら教えてください！

(1)∫arcsin(x) dx
(2)∫x^2/√(a^2-x^2) dx

(1)はarcsin(x)=yとしてx=sin(y)で置換して積分したら、arcsin(x)sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x))
と出したんですが、解答はxarcsin(x)+√(1-x^2)となっていました。どうすればこういう答えになるのでしょう？
(2)は部分積分で挑戦しましたが出来ませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)I=∫arcsin(x) dx
>arcsin(x)=yとしてx=sin(y)で置換
ここで、-1<=x<=1,-π/2<=y<=π/2。
したがって　cos(y)≧0
cos(y)=√(1-sin(y)^2)=√(1-x^2)
なので
dx=cos(y)dy
I=∫ycos(y)dy (部分積分して)
=ysin(y)-∫sin(y)dy
=ysin(y)+cos(y)+C
=(arcsin(x))x+√(1-x^2) +C

(2)I=∫x^2/√(a^2-x^2) dx
a>0としておこう。

部分積分して
I=x(-√(a^2-x^2))+∫√(a^2-x^2)dx

x=a*sin(t)(-π/2<=t<=π/2)で置換、dx=a*cos(t)dt)
cos(t)≧0,cos(t)=√{1-sin^2(t)}=√{1-(x/a)^2}={√(a^2-x^2)}/a

I=-x√(a^2-x^2)+J
J=∫(a^2)*cos^2(t)dt
=(1/2)(a^2)∫(1+cos(2t))dt
=(1/2)(a^2)[t+(1/2)sin(2t)]+C
=(1/2)(a^2)[t+sin(t)cos(t)]+C
tをxに戻して
J=(1/2)(a^2)[arcsin(x/a)+(x/a){√(a^2-x^2)}/a]+C
=(1/2)(a^2)arcsin(x/a)+(x/2)√(a^2-x^2) +C

∴I=(1/2)(a^2)arcsin(x/a)-(x/2)√(a^2-x^2) +C