∫arcsin(1)-arcsin(-1)dx

質問

計算をしていたら、∫[0→1]arcsin(1)-arcsin(-1)dx　という式になりました。
arcsin(1)=π/2+2nπ、arcsin(-1)＝(3/2)π+2mπ（n、mともに整数）
から、
arcsin(1)+arcsin(-1)=π/2+2nπ-(3/2)π+2mπ=-π+2kπ（kは整数）
よって
∫[0→1]arcsin(1)-arcsin(-1)dx
=(-π+2kπ)[x][0→1]
=-π+2kπ
このような考え方でよろしいのでしょうか？宜しくお願い致します。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

arcsin(x)の定義域は-1≦x≦1で、値域は-π/2≦arcsin(x)≦π/2です。
なので

>arcsin(1)=π/2+2nπ、arcsin(-1)＝(3/2)π+2mπ（n、mともに整数）
>から、
>arcsin(1)+arcsin(-1)=π/2+2nπ-(3/2)π+2mπ=-π+2kπ（kは整数）
は間違いです。
正しくは
arcsin(1)=π/2、arcsin(-1)＝-π/2
arcsin(1)-arcsin(-1)=π

>このような考え方でよろしいのでしょうか？
全くだめ。

∫[0→1]　arcsin(1)-arcsin(-1)dx=π∫[0→1] dx=π
となります。

お礼

info22_様ありがとうございます。ご丁寧なアドバイスありがとうございます。arcsinx の値域等調べ直したいと思います。

回答No.2

R_Earl

ANo.1です。
arcsinxの値域を書くところでタイプミスしました。
正しくはこうです。

-π/2 ≦ arcsinx ≦ π/2

申し訳ありませんでした。

お礼

R_Earl様ありがとうございます。arcsinx の値域等調べ直したいと思います。

回答No.1

R_Earl

> arcsin(1)=π/2+2nπ、arcsin(-1)＝(3/2)π+2mπ（n、mともに整数）

ひとつのxの値に対してarcsinxの値が複数定まってしまってしまうのは面倒なので、
通常、arcsinxの値域はπ/2 ≦ arcsinx ≦ π/2に限定されていませんでしたっけ？

なのでarcsin(1) = π/2, arcsin(-1) = -π/2で考えれば良いと思います。