ある積分の問題∫x/x^4+x^2+1dxについて

質問

∫x/x^4+x^2+1dx
という問題についてなのですが、解答では分母を
(x^2-x+1)(x^2+x+1)
に変形して部分分数分解して、tanの逆三角関数に…という手順を取っているのですが、これとは違い、分母を
3/4+(x^2+1/2)^2
という具合にして、部分分数分解を行わず、直接tanの逆三角関数に積分する、という手順は不可能でしょうか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1です。
訂正します。
質問の問題の場合は分子が「x」の特別の場合ですので
>分母を
>3/4+(x^2+1/2)^2
と
>変形直接tanの逆三角関数に積分する
ことが出来ます。
この方法が使えるのは
(x^2+1/2)'=2x
とこの「x」が分子にある場合だけです。
一般的には解答の方法が定石だということを覚えておいた方がいいでしょう。

答えは質問者さんの解答にあると思いますが
直接積分すると#2さんの答えに積分定数をつけたものになります。
∫{x/((3/4)+(x^2+1)^2)}dx= (1/√3)arctan((2x^2+1)/√3)+C

部分分数に直して積分すれば
arctan() の2項の和+C'
=(1/√3){arctan((2x-1)/√3)-arctan((2x+1)/√3)}+C'
という積分結果となります。

いずれの不定積分結果も正解で、両者の間には定数項分の差しかありません。つまり、C≠C'です。

お礼

回答ありがとうございます。
おかげさまで解決しました。

回答No.2

proto

不可能でしょうか？と聞く前に自分でやってみてください。

やってみました、
　　∫{x/(x^4+x^2+1)}dx = ∫{x/((3/4)+(x^2+1)^2)}dx
　　　　　　　　　　　　= (arctan((2x^2+1)/√3))/√3
合っているかどうかの保証はしません。検算はお任せします。

回答No.1

info22

> 分母を3/4+(x^2+1/2)^2
> という具合にして、部分分数分解を行わず、
> 不可能でしょうか？
不可能です。

積分法が過去の沢山の先輩たちが色々取り組んで、もっとも効率的かつ簡単に積分できる方法が定着し、定石や公式として引き継がれて来ています。
素直に解答の方法（公式を適用できるよう変形する定石が含まれている）にしたがって、その定石をものにされた方がいいと思います。

苦労して沢山の時間を費やして色々やり、やっぱり定石のやり方の方が良かった、ということも、何事も経験してみる点ではいいと思います。
しかし、質問の積分については解答のやり方が一番素直で簡単なやり方だと思います。