∫dx√{(x-α)(β-x)} (α<β)

質問

α<βとする。

∫dx√{(x-α)(β-x)}
=2arctan√{(x-α)/(β-x)} +C
=arcsin{(2x-(α+β))/(β-α)} + C +π/2

と書いてあったのですが、どのように示せばよいのでしょうか。
積分の結果の形が2通りあることも不思議です。

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

∫{1/√(x-α)(β-x)}dx でないと，このような答えにならないと思いますが？

前の式を変形して，後ろの式に変形したというより，別個に答えを出したのだと思います。

後ろの式は，(x-α)(β-x)={(β-α)/2}^2 -{x-(α+β)/2}^2 と変形し，
∫{1/√(a^2 -x^2)}dx=arcsin (x/a) の公式を使えば，よいでしょう。

使う技法によって，違った形式の答えが出ることはよくあります。

お礼

すいません。正しくは、
∫{1/√(x-α)(β-x)}dx
でした。

回答No.1

spring135

α,βはうつのが面倒なのでa,bとします。

I=∫dx√{(x-a)(b-x)}, x=a+(b-a)t

とおく。簡単な計算によって

I=(b-a)^2∫dt√t(1-t),

t=(u+1)/2とおくと

I=[(b-a)^2/4]∫du√1-u^2

あとはu=sinΘ

などと置いて変形すればよい。