不定積分 微積分

質問

不定積分の問題です。

∫arcsin (√x)/(√1+x)　dx 　　教えてください。

ちなみに
＝x・arcsin (√x)/(√1+x)＋∫(√x)/1+x までは分かりました。

答えは (x+1)arcsin(√x)/(√1+x)ー√x になるみたいですが…

回答No.3

kkkk2222

* arctan√x
* =arcsin√[(x/(1+x)]
* =arccos√[(1/(1+x)]

--------------------
y=arcsin√[(x/(1+x)]=arcsin√u
u=√[(x/(1+x)]=√V
V=(x/(1+x))

dy/dx=(dy/du)(du/dv)(dv/dx)
=[1/√(1-(u^2))][1/2√V][1/((1+x)^2)]
=[1/√(1-(x/(1+x)))][1/2√(x/(1+x))][1/((1+x)^2)]
=[√(1+x)][√(1+x)/2√x)][1/((1+x)^2)]
=(1/2(1+x)√x)

---------------------------------

P=∫arcsin[√(x/(1+x))]dx 　　
=xarcsin[√(x/(1+x))]-∫x*(1/2(1+x)√x)dx
=xarcsin[√(x/(1+x))]-(1/2)∫(√x/(1+x))dx
　　　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　－－－－

　　Q=(1/2)∫(√x/(1+x))dx

　　　√x= t
　　　dx/2√x=dt
　　　dx=(dt*2√x)

　　Q=(1/2)∫(t/(1+(t^2))(dt*2√x)
　　　=∫((t^2)/(1+(t^2))dt
　　　=∫(1+(t^2)-1)/(1+(t^2))dt
　　　=∫dt-∫(1/(1+(t^2))dt
　　　=t-arctant
　　　=√x-arctan√x
　　　=√x-arcsin[√(x/(1+x))]
－－－－

P=xarcsin[√(x/(1+x))]-(1/2)∫(√x/(1+x))dx
=xarcsin[√(x/(1+x))]-√x+arcsin[√(x/(1+x))]
=(x+1)arcsin[√(x/(1+x))]-√x

＞＞　＝(x+1)arcsin(√x)/(√1+x)ー√x
----------------------------------

回答No.2

inara

楕円積分が出てくるような問題は出ないと思いますが。もしかして、被積分関数は arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] でしょうか。
だとしたら、その不定積分は ( 1 + x )*arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] - √( x ) となります。
カッコの使い方で全然違った数式になります。以下は手計算なので間違っているかもしれません。検算してみてください。

【不定積分の計算】
t = √{ x/( 1 + x ) } とおけば、x = t^2/( 1 - t^2 ) ですから、dx = 2*t/( 1 - t^2 )^2 dt となります[1] 。したがって
　　　∫ arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] dx = ∫arcsin(t)*2*t/( 1 - t^2 )^2 dt
ここで、f(t) = arcsin(t)、g(t) = 2*t/( 1 - t^2 )^2 とおいて部分積分法 [2] を使えば、
　　　∫arcsin(t)*2*t/( 1 - t^2 )^2 dt = f(t)*G(t) - ∫f ' (t)*G(t) dt
ですが、G(t) = ∫2*t/( 1 - t^2 )^2 dt は、2*t/( 1 - t^2 )^2 を分数の和に分解すれば
　　　 2*t/( 1 - t^2 )^2 = { 1/( 1 - t )^2 - 1/( 1 + t^2 )}/2
なので
　　　 G(t) = ∫{ 1/( 1 - t )^2 - 1/( 1 + t^2 )}/2 dt
　　　　　　= { 1/( 1 -t ) + 1/ (1 +t ) }/2
　　　　　　= 1/( 1 - t^2 )
したがって
　　　∫arcsin(t)*2*t/( 1 - t^2 )^2 dt = f(t)/( 1 - t^2 ) - ∫f ' (t)/( 1 - t^2 ) dt
arcsin(t) の微分 f ' (t) は、[3] から
　　　f ' (t) = 1/√( 1 - t^2 )
なので、問題の積分は
　　　∫arcsin(t)*2*t/( 1 - t^2 )^2 dt
　　　　= arcsin(t)/( 1 - t^2 ) - ∫1/( 1 - t^2 )^(3/2) dt
　　　　= arcsin(t)/( 1 - t^2 ) - ｔ/√( 1 - t^2 )
t = √{ x/( 1 + x ) } なので、 1 - t^2 = 1/( 1 + x ) 。したがって
　　　∫ arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] dx
　　　　= arcsin(t)/( 1 - t^2 ) - ｔ/√( 1 - t^2 )
　　　　= ( 1 + x )*arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] - √{ x/( 1 + x ) }*√( 1 + x )
　　　　= ( 1 + x )*arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] - √( x )

【補足】
[1]　t^2/( 1 - t^2 ) の微分
　　　f(t) = t^2、g(t) = 1 - t^2 とすれば、商の微分公式 { f(t)/g(t) }' = ( f'*g - f*g' )/g^2 から
　　　　　　{ t^2/( 1 - t^2 ) }' = { (t^2)' *( 1 - t^2 ) - t^2*( 1 - t^2 )' }/( 1 - t^2 )^2
　　　　　　　　　　　　　　 　　　= { 2*t*( 1 - t^2 ) - t^2*(-2*t) }/( 1 - t^2 )^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 2*t/( 1 - t^2 )^2
[2]　部分積分法
　　　∫f(t)*g(t) dt = f(t)*G(t) - ∫f ' (t)*G(t) dt　（ ただし G(t) = ∫g(t) dt )
[3]　arcsin(x) の微分　
　　　y = arcsin(x) とおくと、x = sin(y)なので
　　　　　　dx = cos(y)*dy　→　dy/dx = 1/cos(y)
　　　-π/2 ≦ y ≦π/2 とすれば、0 ≦ cos(y) だから
　　　　　　cos(y) = √[ 1 - { sin(y) }^2 ] = √( 1 - x^2 )
　　　したがって
　　　　　　dy/dx = 1/cos(y) = 1/√( 1 - x^2 )
　　　つまり arcsin(x) の微分は 1/√( 1 - x^2 )

回答No.1

Mr_Holland

この不定積分は、初等関数で表すことができず、第２種楕円積分に帰着するようです。
　積分結果だけを書いておきます。

　　∫{arcsin (√x)}/√(1+x)dx
　＝2√(1+x) arcsin(√x) -2√2 E(arcsin{√(1-x)},1/2)

　ただし、E(φ,k)は第２種楕円積分で次式で与えられます。
　　E(φ,k)＝[θ=0→φ]∫√{1-k^2 (sinθ)^2} dθ

＞ちなみに
＞＝x・arcsin (√x)/(√1+x)＋∫(√x)/1+x までは分かりました。

　逆三角関数の不定積分の公式を使われたのだと思いますが、計算が違うようです。
　√x＝ｔ　とおいたとき、与えれた積分Ｉは、
　　Ｉ＝2∫{t/√(1+t^2)} arcsin(t)dt
と表せますので、ここで、
　　f(t)＝t/√(1+t^2)
とおけば、f(t)の不定積分F(t)は
　　F(t)＝√(1+t^2)
となりますので、
　　Ｉ＝2F(t)arcsin(t)-∫F(t)/√(1-t^2) dt
　　　＝2√(1+x) arcsin(√x) -∫√{(1+t^2)/(1-t^2)} dt
と変形できます。
　あとは頑張って積分の中身を変形してください。

＞答えは (x+1)arcsin(√x)/(√1+x)ー√x になるみたいですが…

　これを微分しても、被積分関数にはならないと思います。

補足

答えは間違えありません。
√x＝ｔ　とおいたとき、与えれた積分Ｉは、
　　Ｉ＝2∫{t/√(1+t^2)} arcsin(t)dt

というのも僕は違うと思います。

回答してくれたのに申し訳ありません