不定積分が解答と一致しません

質問

√{(x-1)/(2-x)}を積分せよ。という問題の答えが解答と一致しません
√(2-x)=tと置いてx=2-t^2,dx==-2tdt
　∫√{(x-1)/(2-x)}dx
=∫√(1-t^2)(-2tdt)/t
=-2∫√(1-t^2)dt
[∫√(1-t^2)dt]の部分は公式を使ったり、部分積分を用いたりして[{t√(1-t^2)+arcsint}/2]（ここでは積分定数を省略）
よって-√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+C（C：積分定数)だと思ったのですが、解答には
arctan√{(x-1)/(2-x)}-√(x-1)(2-x)+Cとあります。
-√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+Cという答えはあっていますか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

被積分関数の√内≧0から　「1≦x＜2」です。
このxの範囲で考えます。

>解答には
>arctan√{(x-1)/(2-x)}-√(x-1)(2-x)+C

>-√{(x-1)(2-x)}-arcsin√(2-x)+C
>という答えはあっていますか？

解答もあなたの答えも合っています。

「1≦x＜2」なので x-1≧0, 2-x＞0
arctan(√{(x-1)/(2-x)})=arctan((√(x-1))/(√(2-x))
=arcsin((√(x-1))/(√((x-1)+(2-x)))=arcsin((√(x-1))/1)
=arcsin(√(x-1))
=(π/2)-arcsin(√(2-x)
=arccos(√(2-x))
=(π/2)-arccos(√(x-1))
という関係にあります。π/2は積分定数に吸収されますので

以下のどの答えでも、不定積分の解答として合っています。

●arctan√{(x-1)/(2-x)}-√{(x-1)(2-x)}+C
●arcsin(√(x-1))-√{(x-1)(2-x)}+C
●-arcsin(√(2-x)-√{(x-1)(2-x)}+C
●arccos(√(2-x))-√{(x-1)(2-x)}+C
●-arccos(√(x-1))-√{(x-1)(2-x)}+C

以下の関係（公式？）を覚えておくといいですね。
A>0,B>0、A^2+B^2=1のとき
arcsin(A)
=arccos(B)
=arctan(A/B)
=(π/2)-arcsinB
=(π/2)-arccosA
=(π/2)-arctan(B/A)

(今回は　A=√(x-1),B=√(2-x)が当てはまります。)

お礼

ありがとうございます。
arcsin(A)から様々な関係があるのですね。
逆三角関数は三角関数に直してから変形してまた逆三角関数に戻すと、これらが導けるのですね。
これからもよろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

そうか、同じだった。失礼。
両者の C が異なることは、例えば、
x = 3 を代入してみれば解るね。

お礼

ありがとうございます。
これからもよろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra

合ってます。
微分すれば元の関数に戻ることが確認できます。

ついでにあなたの導いた答えが解答と同じものであることを示しましょう。

arcsin(√(2-x))=yとおく。
sin(y)=√(2-x)
tan(y)=sin(y)/cos(y)={√(2-x)}/√{1-(2-x)}=√{(2-x)/(x-1)}
となります。

ここでz=π/2-y　とおくと
tan(z)=1/tan(y)=√{(x-1)/(2-x)}
z=arctan[√{(x-1)/(2-x)}]
となります。
つまり、
arcsin(√(2-x))=y=π/2-z=π/2-arctan[√{(x-1)/(2-x)}]

-arcsin(√(2-x))=arctan[√{(x-1)/(2-x)}]-π/2
となり、あなたの導いた答えと解答は同じものであることが示せました。
(π/2の違いは積分定数で吸収できます。)

お礼

ありがとうございます。
このようにして逆三角関数を変換することができるのですね。
定数はCに収納されて・・・解答と一致しました。
また機会があればよろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

違っている気がする。
-√{(x-1)(2-x)} - arccos√(2-x) + C か
-√{(x-1)(2-x)} - arcsin√(x-1) + C かなんじゃね？

tanθ = √{(x-1)/(2-x)} と置いて、
sinθ を計算してみるよろし。

お礼

ありがとうございます。
このコメントを入力している時は[rnakamra様][info22_様]の回答がございました。
これからもよろしくお願いします。