Arcsin(x) = -Arccos(x)??

質問

sqrtはルートです。
積分で
∫1 / sqrt(a^2 - x^2) dx
(a>0)
の原始関数を求める。
このとき

i）
x = a * sin(t)と置いて置換積分

dx/dt = a * cos(t)
dx = a * cos(t) dt

与式＝∫1 / sqrt(a^2 - a^2 * sin^2(t)) * a * cos(t) dt
= ∫1 / sqrt( a^2( 1 - sin^2(t) ) ) * a * cos(t) dt
= ∫1 / sqrt( a^2 * cos^2(t) ) * a * cos(t) dt
= ∫1 / ( a * cos(t) ) * a * cos(t) dt
= ∫1 dt
= t

x = a * sin(t)より x / a = sin(t)
t = arcsin(x/a)となる

与式＝ arcsin(x/a)

ii）
x = a * cos(t)と置いてi）と同様に置換積分すると
与式＝　-arccos(x/a)となりました。

i）ii）どちらも正解なのでしょうか？
また、arcsin(x/a) = -arccos(x/a)と考えてもいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

i）ii）どちらも、いまいち残念です。
どちらも、不定積分ですから、
積分定数がつかなくてはいけません。
また、被積分関数内の √ を処理するときに
sin(t) や cos(t) の符号が問題になりますから、
i) 与式 = ±arcsin(x/a) + (定数)
ii) 与式 = ±arccos(x/a) + (定数)
が正解です。したがって、
arcsin(x/a) = -arccos(x/a) にはなりません。

お礼

cos(t)が正の場合と負の場合でプラスの場合とマイナスの場合がありますね。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

今回は、真似をしそこなったようですが…
A = sinθ = cosφ となる θ と φ の関係は、
θ + φ = π/2 だけとは限りません。
そんなに単純ではないんですよ。
arcsin(x/a) = -arccos(x/a) の修正バージョンを作るためには、
θ と φ の変域を確認しなくてはならない。
i) ii) の積分定数しだいということになります。

回答No.2

info22_

不定積分ですから 積分定数（任意定数）C　をつけます。

i)
> = t+C
> = arcsin(x) +C

ii）

>与式= -arccos(x/a) +C

原始関数としては　arcsin(x) でも -srccos(x/a)　でも正解ですが、
不定積分としては定数の差は積分定数に吸収されて表に出ません。

> arcsin(x/a) = -arccos(x/a)と考えてもいいのでしょうか？

駄目ですね。実は
　arcsin(x/a)=(π/2) -arccosh(x/a)　（←公式です）
です。
一般的には
　arcsin(A)+arccos(A)=π/2
という関係にあります（公式）。

この定数項「π/2」は不定積分では積分定数（任意の定数）に吸収されて表面に現れてこないだけです。

お礼

ありがとうございました。