∫√((1 - x)/(1 + x))dxの解き方

質問

46歳の会社員です。1 年前から数学を独学で勉強しています。
　どうしても解けない不定積分の問題があり、投稿しました。

∫√((1 - x)/(1 + x))dx
の解き方がどうしても分かりません。
本には答えだけ
√(1 - x^2) + arcsin(x) (arcsin は sin の逆関数の意味です）
とあり、解き方は載っていません。

　自分なり解いてみましたが、

t = √((1 - x)/(1 + x)) とおくと
x = (1 - t^2)/(1 + t^2)
dt/dx = -1/(√((1 - x)/(1 + x)) * (1 + x)^2)
= -1/(t * (1 + (1 - t^2)/(1 + t^2))^2)
= -1/(t * (2/(1 + t^2))^2)
dx = -t * (t * (2/(1 + t^2))^2) dt
= (-4 * t)/(1 + t^2)^2 dt

与式 = ∫t * ((-4 * t)/((1 + t^2)^2)) dt
= -4 * ∫(t^2)/((1 + t^2)^2) dt
= -4 * ∫(1 + t^2 - 1)/((1 + t^2)^2) dt
= -4 * (∫1/(1 + t^2) dt - ∫1/((1 + t^2)^2) dt)
= 4 * (∫1/((1 + t^2)^2) dt - ∫1/(1 + t^2) dt)
= 4 * ((1/2) * (t/(1 + t^2) + arctan(t)) - arctan(t))
= (2 * t)/(1 + t^2) - 2 * arctan(t)
= √(1 - x^2) - 2 * arctan(√((1 - x)/(1 + x)))

ここで行き詰まってしまいました。
本の答えとは arcsin(x) の部分が -2 * arctan(√((1 - x)/(1 + x))) と異なります。

-2 * arctan(√((1 - x)/(1 + x)))
をどうすれば、
arcsin(x)
になるのか、私が公式を知らないだけなのか、
公式があるのであればどのようにして公式を導出すればよいのか、
それとも根本的に解き方が誤っているのかご教示いただけないでしょうか ?

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

I=∫√((1-x)/(1+x))dx
√内≧0より　xの定義域は「-1＜x≦1」と考えられます。
この範囲で積分を求めます。

x=1の時は　I=∫0dx=C(Cは積分定数)...(★)
-1＜x＜1...(1)の時
I=∫√((1-x)^2/(1-x^2))dx
(1)より 1-x＞0
=∫(1-x)/√(1-x^2)dx
x=cos(t)(定義域：0＜t＜π)または
x=sin(t)(定義域：-π/2＜t＜π/2)と置換できます。
ここでは
x=sin(t)(定義域：-π/2＜t＜π/2...(2))と置換しましょう。
dx=cos(t)dt,
(2)のとき√(1-x)(>0)を分子、分母に掛けて
(1-x)/√(1-x^2)dx=(1-sin(t))/√(1-sin^2(t))}cos(t)dt
={(1-sin(t))/√cos^2(t)}*cos(t)dt
(2)ではcos(t)>0なので
={(1-sin(t))/cos(t)}*cos(t)dt
=(1-sin(t))dt
従って
I=∫(1-sin(t))dt (-π/2<t<π/2)
=t+cos(t)+C
x=sin(t)(-π/2＜t＜π/2,-1<x<1)より,cos(t)>0
t=arcsin(x),cos(t)=√(1-sin^2(t))=√(1-x^2)
であるから
I=arcsin(x)+√(1-x^2)+C（-1<x<1) ...(☆)
(★)と(☆)をあわせたのが
xの定義域「-1＜x≦1」における解となります。

質問者さんの解答をチェックして
修正版を書いておきます。
--------------------------------------
>t=√((1-x)/(1+x)) とおくと

x=1の場合はt=0となるので別に扱いましょう。
そこで√内>0の範囲の-1<x<1がxの定義域とします。
このとき tの値域は0<t<∞となります。

>x=(1-t^2)/(1+t^2)
(0<t<∞)

>dt/dx=-1/((√((1-x)/(1+x)))*(1+x)^2)
> =-1/(t*(1+(1-t^2)/(1+t^2))^2)
> =-1/(t * (2/(1+t^2))^2)
>dx=-t*(t*(2/(1+t^2))^2) dt
> =(-4*t)/(1+t^2)^2 dt

>与式=∫t*((-4*t)/((1+t^2)^2)) dt
> =-4*∫(t^2)/((1+t^2)^2) dt
> =-4*∫(1+t^2-1)/((1+t^2)^2) dt
> =-4*(∫1/(1+t^2) dt-∫1/((1+t^2)^2) dt)
> = 4*(∫1/((1+t^2)^2) dt -∫1/(1+t^2) dt)
> = 4*((1/2)*(t/(1+t^2)+arctan(t)) -arctan(t))+C
積分定数Cを忘れないように

> =(2*t)/(1+t^2) -2*arctan(t)+C
(0<t<∞)

> =√(1-x^2) -2*arctan(√((1-x)/(1+x)))+C ...(◆)
(-1<x<1)　

>-2 * arctan(√((1 - x)/(1 + x)))
>をどうすれば、
>arcsin(x)
にはなりません。

-2*arctan(√((1-x)/(1+x)))=arcsin(x)-(π/2)
となります。
-(π/2)の定数項は不定積分の積分定数Cに含めることができ
見かけ上、なくすことができます。
>私が公式を知らないだけなのか、
公式があるのであればどのようにして公式を導出すればよいのか、

以下、導出計算を示します。

y=2*arctan(√((1-x)/(1+x)))(-1<x<1) …(◇)とおくと
tan(y/2)=√((1-x)/(1+x))
tan^2(y/2)=(1-x)/(1+x)
xについて解くと
x=(1-tan(y/2)^2)/(1+tan(y/2)^2)
=(1-tan(y/2)^2)*cos^2(y/2)
=cos^2(y/2)-sin^2(y/2)
=cos(y)=sin(π/2-y)
π/2-y=arcsin(x)
y=π/2-arcsin(x) ...(※)

従って
(◆)の式は,(◇)の式より
=√(1-x^2) -y +C
(※)を代入すると
=√(1-x^2) -(π/2-arcsin(x)) +C
=√(1-x^2) +arcsin(x) +C -(π/2)
ここで、-π/2は積分定数Cに吸収される。つまり
C -(π/2)=C'を新たに積分定数（任意定数）として置き直せば
=√(1-x^2) +arcsin(x) +C'
となります。

>根本的に解き方が誤っているのか

質問者さんの解き方が誤っていたわけではありません。

三角関数同士、逆三角関数同士は相互に変形できますので
答えの式が違っていても正解は1通りとは限りません。
答えの式が簡単であることに越したことはないですが…。

お礼

ありがとうございます。
　回答者さんの解き方を見ながら解いてみて、やっと理解できました。
　数学って面白いですね。もっと勉強しようと思いました。

　私の分からなかったことを一つ一つ丁寧に教えていただき、本当にありがとうございました。

回答No.2

spring135

＞46歳の会社員です。1 年前から数学を独学で勉強しています。

まず、敬意を表します。

私は一応理系で実用上このような計算もしたことがありますが大半は岩波の数学公式（I,II,III）に頼っていました。

岩波の数学公式II$$34逆三角関数に以下の公式があります。

2arctan(√(1-x)/(1+x))=π/2-arcsinx　　(1)

従って計算途中のどこかでπ/2を落としていると考えられます。

なお(1)の証明は簡単で

底辺が√((1+x)/2,対辺が√((1-x)/2の直角三角形を考えると斜辺は1で

斜辺と底辺のなす角をαとすると

α=arctan(√(1-x)/(1+x))=arcsin√((1-x)/2=arccos√((1+x)/2

斜辺と底辺のなす角をαとするとcosの２倍角公式より

cos2α=2cos^2α-1=2(1+x)/2-1=x

よって

2α＝arccosx=π/2-arcsinx

よって

2arctan(√(1-x)/(1+x))=π/2-arcsinx

お礼

ありがとうございます。

　2arctan(√((1-x)/(1+x))) を π/2 - arcsin(x) に変換するのに直角三角形を使って説明するのは分かり易かったです。

　岩波の数学公式（I,II,III）は本屋さんに行って探してみます。他にもよい本があれば教えていただければ助かります。

　私は工業高校を卒業してすぐ就職したので、大学には行っていません。
　将来、引退したら大学で物理を勉強したいと思い、そのために基礎となる数学の勉強を始めました。
　まだまだレベルは低いですが、引退するまで10年以上はあるので気長に勉強して行こうと思っています。

回答No.1

noname#182106

高校までしか数学をやっていないので自信はありませんが、一応やってみました。
arcsin が sin の逆関数ということは

arcsin(x) = t とすると、
x = sin(t)
dx/dt = cos(t) = √(1 - sin(t)^2) = √(1 - x^2)
よって dt = dx/√(1 - x^2)

∫√{( 1 - x)/(1 + x)}dx
=∫√[{(1 - x)(1 - x)/(1 + x)(1 - x)}]dx
=∫{(1 - x)/√(1 - x^2)}dx
=∫(1 - x)dt
=∫{1 - sin(t)}dt
= t + cos(t) + C
= t + √(1 - sin(t)^2) + C
=arcsin(x) + √(1 - x^2) + C

定義域とかルートを外すときの符号とか無視してますけど・・・。

お礼

ありがとうございます。
t = arcsin(x) とおくというのは、まったく思いつきませんでした。
こういう解き方もあるということが分かり、勉強になりました。

t = √((1 - x)/(1 + x)) とおくというのが一つの定石のようでしたので、その解き方に固執していました。
そもそも私の解き方の戦略が間違っていたのでしょうか ?