行列式の意味

質問

行列式の値は何を意味しているのか。教えてください
例えば、２次方程式の判別式の値はそれによって、解の存在についてしることができる。どうしてそうなのかも解の公式から、よく分かる。
行列式の値は何のためにあるのか、よく分かりません。
行列式は何のためにあって、そしてそれはどうしてそういえるのか。
この２点について、ご指導お願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

行列式の意味にはいろいろな立場から複数の解釈があると思いますが、その中の一つとして、行列式は線型変換の"倍率"であると言えます。

行列が線型変換を表すというのは御存じでしょうか？
いま2×2行列Aと、2次元ベクトル(x;y)があったとします。
ベクトルに行列を左から掛けて
　　(u;v) = A(x;y)
とすると新たな2次元ベクトル(u;v)が得られますが、これを(x;y)がAによって(u;v)に変換された(写された)と考えます。
Aという行列は様々な(x;y)をそれぞれの(u;v)に変換するので、x-y平面をu-v平面に変換しているとも考えられます。

行列が行う変換はいわゆる線型変換ですから、原点中心の拡大縮小か剪断のみです。
ですから行列によって平面を別の平面に変換したときも、変換前の平面と変換後の平面は、それぞれの軸の目盛りの幅が違ったり二つの軸の交わる角度が違ったりというような違いがあります。

さてここからが本番です。
いまx-y平面上で二つのベクトル(a;b),(c;d)を考え、この二つのベクトルによって作られる平行四辺形を考えます。
それぞれのベクトルを行列Aで変換して、
　　(p;q) = A(a;b)
　　(r;s) = A(c;d)
によって、新たなベクトル(p;q)と(r;s)が得られました。
そうしてこの新たな二つのベクトルによって作られる新たな平行四辺形を考えてみます。
特に注目するのは平行四辺形の面積が変換によってどう変わるかです。

結論から言うと、行列Aで平面を変換した結果、変換後の平行四辺形の面積は変換前の面積より|A|倍に引き延ばされていると言えるのです。
これは"ある平行四辺形"に対してだけの話ではなく、Aという変換によって平面全体が(大きさの目安として)|A|倍に引き延ばされたと考えられるのです。
(といってもただ拡大されたのとは違いますよ。剪断がありますから。)

なぜそんな事が言えるのか、それはx-y平面における単位ベクトル(1;0),(0;1)が作る単位平行四辺形を線型変換してみて、変換後のu-v平面における単位平行四辺形の面積を求めて見ればわかるでしょう。
それはご自身でやってみてください。

いままでのは2次元平面での話でしたが、これをn次元に拡張することもできます。
n×n行列Aによって、n次元ベクトル空間から別のn次元ベクトル空間への変換をかんがえたとき、もとの空間での図形の体積は変換後には|A|倍に引き延ばされています。
線型変換Aと変換の倍率|A|が対応しているわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
|A|の意味するところが、何かということが具体的な例でしめしてくれたので、自分で計算をいれながら興味をもって確かめながらみることができました。
(といってもただ拡大されたのとは違いますよ。剪断がありますから。)
の部分がよく分かりませんでしたが、考えたいと思います。
今後ともよろしくお願いします。

回答No.3

pspice41

行列式は行列の性質を知る上で重要になります．

質問の中にある「２次方程式の判別式の値はそれによって、解の存在についてしることができる。」ににかかわる話になりますが，

行列式の値が0の時，行列の逆行列を求めることができません．

理由は，行列Aの逆行列A^{-1}は

A^{-1}=1/|A|*adj(A)　　（adjは余因子行列)

で表されるので，|A|=0の時，逆行列が無限大になってしまうからです．

次に，方程式の解があることと，行列式の値の関係を見ていきます．

(1)(2)式のような２次方程式を求めるとき，添付した画像のように行列を用いて求めることができます．この２次方程式は普通に解くこともできます．この時，行列式は-12です．

(5)式のような２次方程式は，普通に解くことができません．(1)(2)式と同様に行列を作って計算していくと，行列式の値は0になります．

つまり，行列式が0になるかならないかで，方程式が解けるか解けないかが分かります．

このほかにも，制御や信号処理などの分野で性質の判別に用いられます．

お礼

連立方程式という身近な例で示してくれたので、興味深く、なるほどとみることができました。
少しは行列式の値をもとめる意味がわかったので、計算のための計算でないのだと思え、いままでは無味乾燥な計算のところがありましたが、計算の動機づけができました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

連立方程式が一意な解をもつかどうか, じゃなかったかな.