行列

質問

高校の行列を独学で勉強し始めました。
わからないところ、つかめないところがあるので、教えてください。

ＡＸ＝Ｏがｘ＝ｙ＝0以外に解をもつ　⇔Ａ^(-1)　が存在しない。
これは背理法で示してあり、『～でないから～でない』と示されても思い出しにくくて困っています。
背理法でしか証明できないのでしょうか？

固有値の問題で、ｘ＝ｙ＝0以外に解をもつのでk=±2
～という式より、-x+3y=0 ゆえに（ｘ　ｙ）＝(3t t)　※これは縦に書かれています
となっているのですが、tは実数である（？）とかそういうtの条件は書かなくていいのでしょうか？

Ａ(1)=(3) A(2)=(2)
　(3)　(3)　(1)　(1) わかりにくいかもしれませんが 縦の2*1行列です。
を積にまとめると、
A(1 2)=(1 2)
　(3 1)　(3 1)　　と書かれているんのですが、これは公式ですか？？？

以上の3点が分からないのですが、教えてください。お願い致します。

回答No.1

masudaya · ベストアンサー

1)Ax=0を書き下すとA=[a,b;c,d],x=[x;y]なので
（行列やベクトルはMatlab風に書き下します.","は横に伸びる感じで,";"は改行という感じです.)
ax+by=0
cx+dy=0
という連立方程式になります.各右辺を0ではなくα,βと置くと
ax+by=α
cx+dy=β
で形式的に解くと(クラメルの公式などを用いてもいい)
x=(dα-bβ)/(ad-bc)
y=(aβ-cα)/(ad-bc)
α=β=０であれば,当然x=y=0となります.それ以外の会を持つためには,形式的にとく過程で出る式
(ad-bc)x=(dα-bβ)
(ad-bc)y=(aβ-cα)
でad-bc=0であれば,x,yは0以外も取れます.
このad-bcは行列Aの行列式det(A)であり,この条件は
det(A)=0
とも書けます.
また,Aの逆行列A^(-1)は
A^(-1)=1/det(A)[d,-b;-c,a]
となるので,det(A)=0なら逆行列は持てません.

2)tは実数である（？）とかそういうtの条件は書かなくていいのでしょうか？

t∈R(tは実数という意味)はつけたほうが親切ですが,話の流れからわかる場合が多いので,特につけなくてもという気もします.

3)A=[a,ｂ;c,d]で,x1=[x;y],x2=[z;w]のとき
Ax1=[ax+by;cx+dy],Ax2=[az+bw;cz+dw]ですので
X=[x1,x2]=[x,z;y,w]とすると
AX=[ax+by,az+bw;cx+dy,cz+dw]となり
AX=[Ax1,Ax2]と同じになります.
ということで特に公式ではないですが,よく用いる方法と思います.

こんなのでわかりますか

お礼

よくわかりました。ありがとうございました☆

回答No.2

YHU00444

(1)についての蛇足
いま、Ａ↑x＝↑0となる↑x(↑0と異なる)が存在したとしますと、Aの線形性により、↑xの定数倍（k*↑x）も条件を満たしています。A(k*↑x)=k*A↑x=↑0
一方、Aの逆写像A^(-1)はAによって移された写像のベクトルを元のそれに戻す操作を表していますから、もしA^(-1)が存在したとすると、A↑x=↑0、A(k*↑x)=↑0、A↑0＝↑0にそれぞれ対応して、A^(-1)↑0=↑x、A^(-1)↑0=k*↑x、A^(-1)↑0=↑0を満たさねばなりません。
しかし、これは点を点に写像するという線形変換の性質からは明らかに外れていますから、これを行列で表現すること自体が不可能なわけです。

※結局、このケースではAは↑x方向の広がりを潰してしまう（次元が減る[退化]）変換になっているので（次元を変えない）線形変換では元に戻せないわけです。ちなみに、これが発展して行列の階数etc.の概念に繋がっていきます。

蛇足ついでに、
一般に線形変換Aはベクトルの向きを変えます（歪む）。ところが場合によっては「特定の方向のみ」方向を全く変えず大きさのみを変える変換が存在することがあって、これを見つけると変換が非常に「見やすく（簡単に）」なります。
これが固有ベクトルと固有値の正体でして、それを理解するのには実数の固有値である方が何かと都合が良いのです（複素数の固有値とベクトルでは幾何的な理解を得にくいので教育的でない ex.回転）。
※(2)でtがアプリオリに実数に限定される理由も、この辺が多少は関係しているように思います。

(3)行列の積の計算規則は、各要素が行ベクトルと列ベクトルの積のそれに一致していますから、右行列の各列については互いに独立しており、適当に分けたりまとめたりしても他に影響がないのです。
※むしろ、これらの演算が互いにうまく収まるように積の演算を定義したと言った方が早いかもしれない。

で、いったん行列にしてしまったら、あとは線形性を最大限活用してやることでいろんな計算が手っ取り早く行えるので便利なんですね。

お礼

教科書にのっていないようなことをご回答いただき、大変勉強になりました。
ありがとうございます☆