掃き出し法 逆行列

質問

掃き出し法について質問させて頂きます。

連立1次方程式を解く場合に、掃き出し法を用います。
AX=Bとすると、Aを係数行列、[A|B]を拡大係数行列。

上に従って連立1次方程式から拡大係数行列を作ります。
拡大係数行列について、行（列）基本変形を行い[A|B]における
Aを階段行列にします。

ここで、質問なのですがAを階段行列にした際に、
Aが単位行列となる場合は必ず自明解を持つと
言う認識で良いでしょうか？

また、Aの階段行列より導かれる階数をrankAとすると
rankA=rank[A｜B]の場合は連立一次方程式に解
が存在します。
この時、Aが単位行列でない場合は一般解（特殊解）が
存在すると言う認識ですが正しいでしょうか？

掃き出し法は計算にコツが入りそうだったので、
逆行列を求める場合は、余因子行列を用いて求めていました。
しかし、知人から掃き出し法で求める方が効率が良いと助言を
頂いたので勉強し直している次第です。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>「rankA=rank[A｜B] で、かつAが基本変形で単位行列に変形不能な場合
>AX=Bはどのような解を持つか？」
>についてですが、この解は一般解とは言わないのでしょうか？
>http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/senkei/hakida …
>では、rankA=rank[A｜B]<nの時の解を一般解と表現しています。

普通、「一般解」や「特殊解」は微分方程式や差分方程式の解を分類するときに使う
言葉ですね。
＃特異解なんてのもあります。

線形代数でもパラメータを含む解を一般解と言いないわけではありませんが、
一般的な言い回しではないので、とまどう人が多いと思いますよ。

お礼

ご回答ありがとうございました。

＞「一般解」や「特殊解」は微分方程式や差分方程式の解を
＞分類するときに使う
仰るとおり、微分方程式を解く時に一般解という言葉をよく使って
いました。

線形代数はあまり一般的な言葉ではないのですね。

理解できました。
ご回答本当にありがとうございました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

表現を直して答えてみます。

>Aを階段行列にした際に、
>Aが単位行列となる場合は必ず自明解を持つと
>言う認識で良いでしょうか？

|
V

「Aを基本変形で単位行列に変形できるとき、AX=Bは唯一解を持つか」

Yes

>Aの階段行列より導かれる階数をrankAとすると
>rankA=rank[A｜B]の場合は連立一次方程式に解
>が存在します。
>この時、Aが単位行列でない場合は一般解（特殊解）が
>存在すると言う認識ですが正しいでしょうか？

|
V

「rankA=rank[A｜B] で、かつAが基本変形で単位行列に変形不能な場合
AX=Bはどのような解を持つか？」

次数=n-Aのランク(nは行列の大きさ)) の線形部分空間になる。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

上の内容は理解できました。

自明解とは、同次連立一次方程式AX=0における解を指すのですね。

「rankA=rank[A｜B] で、かつAが基本変形で単位行列に変形不能な場合
AX=Bはどのような解を持つか？」
についてですが、この解は一般解とは言わないのでしょうか？
http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/senkei/hakidasi.pdf
では、rankA=rank[A｜B]<nの時の解を一般解と表現しています。

お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>ここで、質問なのですがAを階段行列にした際に、
>Aが単位行列となる場合は必ず自明解を持つと
>言う認識で良いでしょうか？

??? 自明解って 右辺Bが零ベクトルのとき、X=零ベクトルが
「自明」の解だと思いますが、Bは零ベクトルなんですか？

>rankA=rank[A｜B]の場合は連立一次方程式に解
>が存在します。
>この時、Aが単位行列でない場合は一般解（特殊解）が
>存在すると言う認識ですが正しいでしょうか？

線形代数で一般解って何でしょう？　解空間の次数が 1以上
という意味で言っているなら、Aが単位行列なら一般解はありません。

補足

ご回答ありがとうございます。

私が勘違いしているようです。
ただひとつの解を持つ事を自明解と認識しています。
任意の解を持つことをを一般解と認識しています。

上記の認識が全くの間違いということですね。

回答No.1

Tacosan

「A が単位行列となる」とか「Aが単位行列でない」の意味がよくわからんし, 「自明解」や「一般解（特殊解）」もどういう意味で使っているのかわからん.

ちなみに逆行列を求める手間 (時間) なら, 余因子を使うより掃き出し法の方がはるかに速いはずです. 行列式を求めるときですら掃き出し法を使うくらいなわけで.