代数学

質問

代数学の範囲で不明な点があったので質問させていただきます。
群G≠{e}について次の３つはなぜ同値なのでしょうか？
１、Gの部分群はGと{e}のみ
２、Gは素数位数の有限巡回群
３、Gは有限可換単純群

２の位数が素数の群は巡回群であることの証明は理解できたのですが、上の三つが同値であることがわかりません。
教科書でも当たり前のように書いてあったので・・・。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

kabaokaba

当然だと思うけど・・・
Gが単純群ってのはGと{e}しか正規部分群を持たないこと．
可換だったら，Gと{e}しか正規部分群を持たないことになる
だから (3)=>(1)は自明
(2)=>(3)も自明
(1)=>(2)だけが若干の論理がある
(1)を仮定する．Gは{e}ではないので，
eではない元gがある．gに対して巡回群
<g>={e,g,g^2,g^3,...,g^{p-1}}を作ると
これがGの部分群で{e}ではない．
したがって，G=<g>
もし，<g>の位数pが素数ではないとすると
pの約数kが存在し，p=klと表せるので
<g^k>={e,g^k,g^{2k},...,g^{(l-1)k}
なる部分があり，<g^k>はGの{e}でもGでもない部分群となり矛盾．
よって，pは素数
つまり，Gは素数位数の巡回群

お礼

ご丁寧に回答していただきありがとうございます。
すごくよく解りました。
どうもありがとうございました。