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・n次対称群Snが変数の置換によって、R[a,b,......]に作用しているとする。 (1)f=a^2*bのとき、Σ_{σ∈S3}sgn(σ)σf を因数分解せよ。 お願いします。

∫［０～１］√（ｘ＾２＋１）ｄｘの値を求めよ。 次の解答を考えましたが、別の解答のほうがよいというのがあったら 教えてください。 x=tanθとおく。dx=1/(cosθ)^2dθ よって、与式＝∫［０～π／４］１／cosθｄθ　 　　　　　　＝∫［０～π／４］cosθ／(cosθ)^2ｄθ ＝∫［０～π／４］cosθ／{1-(sinθ)^2}ｄθ sinθ=tとおく。sinθdθ=dt より 　　　　　　＝∫［０～1/√２］1／{1-t^2}ｄθ 　　　　　　・・・・・ このように考えましたが、よろしくお願いします。

集合と位相についての質問です。 問　Xを空でない集合、関数d:X×X→Rを 　　d(x,y)＝{1(x≠y) 　　　　　　 0(x＝y) 　　で定義する。このとき、dはX上の距離関数になることを示せ。 　　また、Xの点xに対してN(x;0.5),N(x;1),N(x;2)をそれぞれ求めよ。 一応ここまでは解けたのですが、 問　上の問よりdから定まる開集合をθとする。 　　このとき∀M⊂Xに対して、M∈θとなることを示せ。 この追加の問題がよくわかりません。 解答、アドバイス、なんでもいいので出来るだけ早めに回答をお願いします。初めてなので読みにくいかもしれませんが宜しくお願いします。

大学の微分積分学の授業で出た課題です。 問題 1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+…　(-1<x<1)を利用して、-1<x<1のとき1/(1+x^2)のマクローリン級数展開を求めよ。 どのように利用すればよいのかがわかりません。どなたか題意にそった展開過程を示していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

次のような式があり、積分されているのですが、 ∫０から１ｘｄｘ＝[１／２ｘ＾２]０から１＝１／２ ∫０から１ｘｄｘ⇒[１／２ｘ＾２]０から１にする計算方法が分かりません。なぜ１／２？？ 基礎中の基礎だと思いますがご回答お願いします。