位数素数と部分群の数について

質問

pを素数とし，Gを位数pの群とする．
このときG×Gの部分群の数を求めよ．

といった問題について教えてください．

Gは位数pの群なので，GはZ/pZと同型になり，G×GはZ/pZ×Z/pZと同型になるので，Z/pZ×Z/pZの部分群の数を求めればいいと思うのですがそれが求められません．

よろしくお願いします．

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

面倒臭いのでGをZ/pZの加法群と同一視します。

G×Gの位数はp^2なのでLagrangeの定理から
G×Gの部分群の位数は1かpかp^2ですが：

A 位数1の部分群は{(0,0)}の1つだけ
B 位数p^2の部分群はG×G自身です。

C で位数pの部分群ですが...

位数が素数であるからそのような部分群Uは
巡回群で、ある生成元(a,b)∈U⊂G×Gがあります。
一方、任意の(x,y)∈G×Gに対して
(x,y)≠(0,0)なら(x,y)の位数はpで(**)、<(x,y)>は
位数pの巡回群になります。
よって位数がpであるG×Gの部分群全体は
(0,0)以外のG×Gの元(x,y)によって生成される
位数pの巡回群全体Tと一致します。

(**)この辺が位数が異なる素数である巡回群の直積と
　　事情が異なります。p,qが相異なる素数の場合、
　　(Z/pZ)×(Z/qZ)には位数pq, p, q (,1)の元が有ります

＊特に(0,0)以外の元(x,y)は(p^2-1)個ありますが、
　これらは全てある位数pのG×Gの部分群に含まれます。
＊一方V,W∈Tに対してV,Wに(0,0)以外の共通元
　(x,y)が有るとすると、<(x,y)>も位数pの
　巡回群であって、V=W.
　対偶をとって、V,Wが共に位数pのG×Gの部分群で、
　V≠WならばV,Wに共通元はありません。
　位数pのG×Gの部分群Vに含まれる、(0,0)以外の
　元の数は(p-1)個です。

よって、(0,0)以外の元(p^2-1)個は、
(p^2-1)/(p-1) = (p+1)個の 位数pの部分群たちに分類
されます。よって、位数がpであるG×Gの部分群は
p+1個です。

回答No.4

alice_44

おお、No.2 の言う通りだ。
直積の部分群 = 部分群の直積 では、ありませんね。
恐縮。赤面。

回答No.3

tmpname

>　対偶をとって、V,Wが共に位数pのG×Gの部分群で、
>　V≠WならばV,Wに共通元はありません。

V≠WならばV,Wに(0,0)以外の共通元はありません。
です。

回答No.1

alice_44

記号の説明がありませんが、「Ｇ×Ｇ」は群の直積ですよね？
直積群の定義により、Ｇ×Ｇの部分群は(Ｇの部分群)×(Ｇの部分群)なので、
Ｇの部分群がわかれば事足ります。
ラグランジュの定理より、Ｇの部分群の位数はＧの位数の約数なので、
Ｇの位数の p が素数ならば、部分群の位数は 1 または p、
すなわち、部分群はＧの単位元だけからなるものとＧ自身の二種類だけです。
結局、一元群をＥと書くとして、Ｇ×Ｇの部分群は
Ｅ×Ｅ, Ｅ×Ｇ, Ｇ×Ｅ, Ｇ×Ｇ の四種類になります。

補足

> alice_44 さん

はい．G×Gは群の直積です．
この回答ですと，G×Gの部分群の個数は4つということになりますが，
解答を見るとG×Gは単位群とG×G自身以外に，「位数pの部分群をp+1個持つ」とありました．
ということはG×Gの部分群の個数は全部でp+3個ということになりますよね？

G×Gの位数はp^2であることとLagrangeの定理から，G×Gの部分群となる可能性があるのは位数が1,p,p^2のものになります．ここで位数が1,p^2のものは自明な部分群なのでいいとして，あとは位数がpとなる部分群がいくつあるか数えればいいと思うのですが，そこが出来ませんでした．解答から見るに位数pの部分群の個数はp+1になっているはずですよね．

この部分について教えていただけると助かります．