次の代数学の真偽を教えてください。（理由も添えて）

質問

1.位数が素数である有限群は巡回群である。
2.有限アーベル群はすべて巡回群である。
3.巡回群はすべてアーベル群(=可換群)である。
4.Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zは共に位数4のアーベル群である。
5.Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zとは同型な群である。
6.アーベル群の部分群はすべて正規部分群である。
7.位数が同じ有限群GとG'は同型である。
8.位数が素数である有限群はアーベル群(=可換群)である。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

1.位数が素数である有限群は巡回群である。真
位数が素数pである有限群をG,単位元をeとすると
|G|=p>1だからe≠s∈Gがある
1元sで生成される巡回群を[s]とすると
[s]はGの部分群となる
[s]の位数|[s]|は素数pの約数となる
素数pの約数は1かpとなる
s≠eだから|[s]|≠1だから
|[s]|=p=|G|だから
[s]=Gだから
Gは巡回群

2.有限アーベル群はすべて巡回群とは,偽
Z/2Z×Z/2Z={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
は位数4のアーベル群だけれども巡回群でない
0=(0,0),a=(0,1),b=(1,0),c=(1,1)とすると
0+a=a+0=a,0+b=b+0=b,0+c=c+0=c
a+b=b+a=c,a+c=c+a=b,b+c=c+b=a
0+0=a+a=b+b=c+c=0
Z/2Z×Z/2Zには位数4の要素は無いから巡回群でない

3.巡回群はすべてアーベル群(=可換群)である。真
1元sで生成される群を巡回群というのだから
巡回群の任意の要素a,bに対して
a=s^m,b=s^nとなる整数m,nがあるから
ab=(s^m)(s^n)=s^{m+n}=s^{n+m}=(s^n)(s^m)=ba
だから巡回群はすべてアーベル群(=可換群)である

4.Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zは共に位数4のアーベル群である。真
Z/4Z={0,1,2,3},0+0=0,0+1=1+0=1,0+2=2+0=2,0+3=3+0=3,
1+1=2,1+2=2+1=3,1+3=3+1=0,2+2=0,2+3=3+2=1
だから位数4のアーベル群である

Z/2Z×Z/2Z={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
0=(0,0),a=(0,1),b=(1,0),c=(1,1)とすると
0+a=a+0=a,0+b=b+0=b,0+c=c+0=c
a+b=b+a=c,a+c=c+a=b,b+c=c+b=a
0+0=a+a=b+b=c+c=0
だから位数4のアーベル群である

5.Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zとは同型な群とは,偽
Z/4Z={0,1,2,3}
Z/2Z×Z/2Z={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
もし仮に同型写像
f:Z/2Z×Z/2Z→Z/4Z
があると仮定すると
Z/4Zの要素1に対してfは全射だから
f(x)=1
となるx∈Z/2Z×Z/2Zがあり
f(x+x)=f(x)+f(x)=1+1=2
となるはずだけれども
f((0,0)+(0,0))=f(0,0)=0
f((0,1)+(0,1))=f(0,0)=0
f((1,0)+(1,0))=f(0,0)=0
f((1,1)+(1,1))=f(0,0)=0
だから
f(x+x)=2となるxは存在しないから
矛盾するから
Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zは同型でない

6.アーベル群の部分群はすべて正規部分群である。真
アーベル群Gの部分群をH
a∈Gとすると
アーベル群だから
aH=Ha
となるからHは正規部分群であるから
アーベル群の部分群はすべて正規部分群である

7.位数が同じ有限群GとG'は同型とは,偽
Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zは4が真から
共に位数4のアーベル群であるけれども
5が偽から
Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zは同型でない

8.位数が素数である有限群はアーベル群(=可換群)である。真
1が真から位数が素数である有限群は巡回群である。
3が真から巡回群はすべてアーベル群(=可換群)である。
だから
位数が素数である有限群はアーベル群(=可換群)である。

お礼

ありがとうございました。またお願いします。