位数が素数である群

質問

「位数が素数である群は真部分群を持たない巡回群であることを証明せよ。」
という問題について教えて下さい。前半部分はラグランジュの定理を見ていてすぐに分かったのですが、後半の「巡回群であること」の部分をどうやって証明するのかが分かりません。何かヒント下さい。よろしくお願いします。

回答No.1

guuman · ベストアンサー

単位元でない元xのべき乗が何個あるか調べて補足に過程を書け

補足

回答を頂き有難うございます。
　群Gの単位元でない元xを生成元とする巡回部分群Hの位数(=xの位数）は、ラグランジュの定理より、Gの位数の約数でなければならない。今Gの位数をpとするとpは素数であるから、Hの位数は１またはpでなければならない。<x>=Hの元が１個しかないということはxが単位元の場合しか起こらず前提に反するから、Hの位数はpである。|G|=|H|=pとなるから、従ってG=Hとなるしかなく、つまりGは巡回群である。
　…これでいかがでしょうか？全く自信ありません^^>。添削して下さると有難いです。

回答No.3

zk43

回答しようと思ったらすでに補足に書いてありましたので・・・
これで完璧ではないですか？
でも何か教科書を暗記したものを再現している印象は受けます。
おそらく論理だけだから分かった気がしないのでは？
論理を感覚に昇華させるまで何回も反芻してみると良いと思います。
数学では論理は重要ですが、最初は論理を展開しただけでは分かった
気はしません。感覚的なものがあれば、証明の詳細は忘れても、あとで
細かい証明を再現することは比較的容易にできたりします。
これも、有限群だからx,x^2,x^3,…はすべて異なるということはなく、
x^i=x^jとなるi,jがあり、x^(i-j)=eとなる、すなわち、x^n=eとなる
最小のnがある、そして、群の位数が素数だから、nは群の位数に一致
し、e,x,x^2,x^3,…,x^(n-1)で群全体を覆い尽くしてしまう、という
流れを持っていれば、あとは証明を教科書的に書くとすれば、補足
のような感じになると思います。
論理だけ展開していると何か上滑りして自信が持てないこともあるの
で、なるべく自分の言葉で、感覚的な説明を出来るように意識すると
良いと思います。何が感覚的かなどは実は非常に曖昧ですが・・・

お礼

回答を頂き有難うございます。実は入門書を演習をほとんどやらずに定義と定理だけを覚えながらここまで読み進めてきたもので、ご指摘のとおり感覚的な理解も乏しく、何がどう関係しているのか分からなくなっていました。最初の方の回答で|<x>|=|x|と関連があるということに気が付きました。
　皆様、アドバイス有難うございました。

回答No.2

koko_u_

>…これでいかがでしょうか？全く自信ありません^^>。
どの辺が？