GL(n,F_p)の巡回部分群

質問

だいぶ昔から友達と悩んでいる問題なのですが、
F_p（pは素数）をp進体とするとき、
F_p上のn次一般線型群GL(n,F_p)を考えます。
この位数を求める問題はよく問題集で見かけるのですが、
この群は位数がp^n-1の巡回部分群をもつことを示せ、
というのが問題です。
ようするに位数p^n-1の元が存在するということですが、
直接見つけることは恐らく困難なので、別の方法で
やるのでしょうけど、よい方法が思い当たりません。
よろしくお願いします。

回答No.6

nakaizu · ベストアンサー

まず、F_pはp進体ではなく、位数pの有限体のことですね。
p進体は有理数体をp進附値で完備化したものの商体ですから、GLの位数が有限になりません。

さて、有限体には位数が素数pのもの以外に位数がq=p^n
のものがあるのはご存知でしょうか。F_qと表すことにします。
F_qの乗法群は位数q-1=p^n-1の巡回群です。
F_qはF_p加群としてみるとF_p上のｎ次元ベクトル空間と同型になります。
次に、F_qの元aをfixします。F_qの元ｘに対してf(x)=axという変換はF_p上のベクトル空間としてみると線形変換になり、ｆはGL(n,F_p)の元となります。
aがF_qの乗法群の生成元のときにはfの位数はp^n-1となります。

こんなところでどうでしょうか。

お礼

p進体の件、全く勘違いしておりました。F_{p^n}^×が位数p^n-1の巡回群をなすというのは確かにやっていて、それを使うのだろうと想像はしていたのですが、これほどすっきりといくなんて、と感動しています。ほんとうにありがとうございました。

回答No.5

mickel131

Ｎｏ．４の回答で間違ってチェックしていました。
自信あり、なんてとんでもないです。
念のため。

それだけです。すみません。

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それからもし、回答がわかったら、ぜひこの場に書いてくださいね。
見ています。

回答No.4

mickel131

準同型定理というのがありましたでしょう？
あれを使うのじゃ、ありませんか？

という私、本当はもうすっかり忘れてしまって、お答えする立場にはありません。

巡回部分群で割って、類別してできる、何だったかなあ？　そこからの単射とか全射とか・・・
それをうまく与えれば、F_p上のn次一般線型群GL(n,F_p)への全単射が存在して、準同型定理が適用できて一挙解決！なんてね。

酔っ払いのたわ言です。ご勘弁ください。何かの役に立てればいいのですけど・・・。
でしゃばってすみませんでした。

回答No.3

keyguy

用語の使い方を間違えました

Gを要素数がn(自然数)の体とすると
G≡{0,1,x,x^2,x^3,・・・,x^(n-2)}
となるxが存在する

は簡単に証明できると思いますが趣旨が違うかもしれません

補足

体の乗法群の有限部分群はいつでも巡回群という命題ですね。一般線型群GL(n,F_p)というのはF_p上のn次正方行列で、行列式が0(正確にはmod pで0)にならないもの全体です。簡単な計算で群をなすことがわかります。また位数は
P^{n(n-1)/2}(p^n-1)(p^{n-1}-1)……(p-1)
になります。とりあえずGL(n,F_p)は体ではないです。

回答No.2

keyguy

Gを位数がn(自然数)の体とすると
G≡{0,1,x,x^2,x^3,・・・,x^(n-2)}
となるxが存在する

は簡単に証明できると思いますが趣旨が違うかもしれません

回答No.1

keyguy

GL(n,F_p)は有限体ですか？
n次一般線型群とはなんでしょうか？