Wikipediaの巡回群の項目について

質問

Wikipediaの巡回群の項目に

p、q が互いに素ならば、位数 p の巡回群と、位数 q の巡回群の直積は巡回群である。

についてなのですが、これについては先の質問で理解できました。
ただ、この逆つまり、

位数 p の巡回群と、位数 q の巡回群の直積が巡回群ならば、p、q は互いに素

これは成り立つのでしょうか？
何となく成り立つような気がするのですが・・・
成り立つならば、証明の概略かヒントだけでも結構なのでいただけませんでしょうか？

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

こんばんは。

成り立ちそうですね。
(p,q)＝d (d≠1)として考えてみればよいでしょう。
位数 p の巡回群Ｇと、位数 q の巡回群Ｈの直積Ｇ×Ｈが巡回群だというんですから、その生成元を<a,b>とします。このとき、a,bはそれぞれG,Hの生成元になります。Ｇ×Ｈの任意の元<a^s,b^t>について、<a^s,b^t>=<a,b>^xとなるｘが必ず存在するかどうかです。たとえば、s-t=1のときはどうでしょうか。
以上のようなことを考えればいいんじゃないかと思います。

よって、(p,q)＝1となりそうです。

回答No.3

arrysthmia

ヒント：
対偶で考えると考えやすい。
直積群の各元を、p,q の最小公倍数 乗してみましょう。
巡回群の位数と、その生成元の位数は一致しますが、
そのような元が、直積群の中に在りますか？

回答No.2

koko_u_u

>何となく成り立つような気がするのですが・・・
何となくそう思った理由を、位数４の巡回群 G と位数６の巡回群 H を例にとって補足にどうぞ。