G,G'を有限群とし，ψ:G→G'を準同型とするとき

質問

G,G'を有限群とし，ψ:G→G'を準同型とするとき
Im ψの位数がG,G'の位数の約数となることを証明せよ．
また，G,G'の位数が互いに素なとき，GからG'への準同型写像をすべて求めよ．
という問題なのですが，Im ψがG'の部分群であり，ラグランジュの定理より
Im ψの位数がG'の位数となることはわかるのですが，他がわかりませんどなたか解説お願いします．

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

準同型定理より、G/kerΨとImΨは同型となるからGの位数は
ImΨの位数とkerΨの位数の積になるから、ImΨの位数はGの約数である。

したがって、ImΨの位数はGの位数とG'の位数の公約数である。
ImΨの位数が2以上と仮定すると、ImΨの位数はGの位数とG'の位数の
2以上の公約数となり、Gの位数とG'の位数が互いに素であることに反する。
したがって、ImΨの位数が1である。

またG,G'の単位元をそれぞれe,e'とする
Ψ(e)=Ψ(e*e)={Ψ(e)}{Ψ(e)}={Ψ(e)}^2よりΨ(e)=e'がいえる。
ImΨの位数が1であることを考慮するとImΨ={e'}
よって、ΨはGの任意の元xをe'に移す、すなわち
Gの任意の元xに対して、Ψ(x)=e'となる。