位数１２の群Gの問題なんですが・・・

質問

Gを位数１２の群G＝＜a,b＞,a^^6=e,a^^3=b^^2=(ab)^^2とする。Gの元はG={e,a,a^^2,a^^3,a^^4,a^^5,b,ab,a^^2b,a^^3b,a^^4b,a^^5b}でありまた部分群N、Z、Kを次のようにおく。N=＜a＞,Z<a^^3>,K<b>とした時の
（１）剰余群G/N、G/Z、N/Zの乗積表を作れという問題なんですがいまいちわかりません。
（２）またN,Kの標準的準同型写像ｆ：G→G/Z　ｘ：→ｘZによる像を求めよという問題なんですがよくわかりません。アドバイス頂ければありがたいです。よろしくお願い致します。（Gの乗積表は省略しました。）

回答No.2

noname#43297 · ベストアンサー

仕事終わり♪
ＮがＧの正規部分群であれば、g,hをＧの元として、
gN=hNとなるgやhを仲間と思って、代表にgを取ってgNと書きます。
Ｇの元は全部どこかに振り分けられて、どこかの仲間に入ります。で、
eN（単位元の入ってる仲間、Nと書いていいです）,gN,...
という、仲間の集合が出来るわけです。それをG/N:=｛N,gN,aN,bN...｝と
書きます。さてこの集合G/Nにとっては、N,gN,aN,bN,...というのは
元ですよね。これに演算をaN・bN＝abNとしてやると、集合G/Nは群です。
単位元はNになってるし、任意の元の逆元もあるでしょ？
代表は適当にとっていいです。じゃ、G/Z、N/Zの元を書き上げて。
そしたら乗積表はできるよね。

（２）像の定義を見直せば解けると思います。書いとこうか？
像　Im(f)={f(x)|x in G}　
ちなみに、これはG/Zの部分集合だよ。

レポートかな試験かな。がんばってねー♪

お礼

さっそくのアドバイスありがとうございます！G/Zというのは具体的になにかで割った時の余りではないのでしょうか？実は環を勉強した時に例えばZ/１２Zは乗積表を書いた時１２で割った時の余りだったのでこの場合も何かの割り算の余りかな？と思ったのですが・・・根本的に考え方が違うのでしょうか？仕事終わりお疲れの所すいません・・・

回答No.3

uyama33

分割，同値類

について、再度確認
する事を薦めます。

回答No.1

noname#43297

とりあえず、（１）は、乗積表の作り方は分かってるようなので、
問題は、剰余群というものがよく分からないということでしょうかね。
G/Nの元は｛N,bN｝です。
正規部分群の定義はわかりますか？
仕事中ですので、これでもダメならまた後で（＾＾；