方程式

質問

x＾3＋x＾2-2x-3=0の３つの解をα、β、ｒとすると、つぎの値を求める

(1)
α＾2＋β＾2＋ｒ＾2

(2)
α＾3＋β＾3＋ｒ＾3

参考書の答えに
α＋β＋r=-1
αβ＋βr＋rα=-2
αβr=3

と書いてあって、これはどこから求めたものですか？

回答No.6

unos1201

a3+b3+c3+5+2-9=0
a3+b3+c3=2でした。ごめんなさい。数学は久しぶりでした。

回答No.5

unos1201

(a+b+c)(a+b+c)=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
(-1)x(-1)=a2+b2+c2+2x(-2)
a2+b2+c2=1+4=5 (1)
a3+a2-2a-3=0
b3+b2-2b-3=0
c3+c2-2c-3=0
a3+b3+c3+a2+b2+c2-2(a+b+c)-9=0
a3+b3+c3+5-2x(-1)=0
a3+b3+c3=-7 (2)
時間がかかったのですが、回答の残りでした。

回答No.4

fushigichan

pika1588さん、こんばんは。

３次方程式の解を、α、β、γとすると、
(x-α)(x-β)(x-γ)=0
と書けますから、これを展開すると、
x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ=0
となりますね。
このことから、
x^2の係数・・・-(α+β+γ）
xの係数・・・・αβ+βγ+γα
定数項・・・-αβγ
であることが分かります。これを「解と係数の関係」といいます。

これを使って
α＋β＋r=-1
αβ＋βr＋rα=-2
αβr=3
が出てくるんですね。

＞(1)
α＾2＋β＾2＋ｒ＾2 =(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα）
=1+4=5
のように求められます。

(2)も同じように、解と係数の関係の式を使って表してみましょう。
頑張ってください。

(a+b+c)^3=(a+b+c)^2(a+b+c)
　　　　=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)(a+b+c)
　　　　=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)より
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)
などを使うといいです。やってみてくださいね。

回答No.3

MovingWalk

x＾3＋x＾2-2x-3=0の３つの解がα、β、ｒなので
(x-α)(x-β)(x-γ)=0
この式を展開して同じ次数の係数を比較すると蒸気のようになりますね。

{x^2-(α+β)x+αβ}(x-γ)=0
{x^3-(α+β)x^2+αβx}-{γx^2}-γ(α+β)x+αβγ}=0
x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+γα+βγ)x-αβγ=0

・２次の項　α+β+γ=-1
・１次の項　αβ＋βr＋rα=-2
・定数項　　αβγ=3

回答No.2

unos1201

(x-a)(x-b)(x-c)=0
(x2-ax-bx+ab)(x-c)=0
x3-(a+b+c)x2+(ac+bc+ca)x-abc=0
比較すると答えです。

回答No.1

oshiete_goo

３次方程式の解と係数の関係です．