二次方程式の問題です。

質問

二次方程式の問題です。

x^2+(2m+5)x+(m+3)=0が整数の解を持つための整数mの値をすべて求めよ。

という問題で、解けなかったので解答を見たのですが分からない個所があったので質問させていただきます。解答では、

[整数解をα,他の解をβとすると、
α+β=-(2m+5),αβ=m+3…(1)
α,mは整数であるから、βも整数となる。
(1)から、(2α+1)(2β+1)=3　α≦βとして考える]

とありました。どうして、(2α+1)(2β+1)=3が出てくるのか教えてください。
また、答えはm=-3,-1なのですがそこまでのプロセスも教えていただけるとありがたいです。
回答宜しくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。
(1)の形までくると、あとは整数問題ですね。＾＾

＞どうして、(2α+1)(2β+1)=3が出てくるのか教えてください。
「mを消去」していることになるのですが、ちょっと工夫が必要ですね。
単純に消去すると、
2αβ+ α+ β＝ 1

となります。
ところが、この形では左辺を因数分解もどきにできません。
（αかβが 1つだけ余ってしまう）
そこで、余らないようにさらに倍しているということになります。

＞答えはm=-3,-1なのですがそこまでのプロセスも
(2α+ 1)(2β+ 1)＝ 3から、α、βを求められれば mが求められますね。

α、βは整数で、右辺は 3＝ 1* 3 or 3＝ (-1)* (-3)ということに気づけば、
(2α+ 1, 2β+ 1)＝ (1, 3) or (-3, -1)（∵α≦βより）

となりますね。
あとは、計算あるのみです。＾＾

お礼

迅速な回答ありがとうございます^^
おかげでスッキリ解決できました！！
ありがとうございました！