２次方程式の解、α^n+β^n

質問

α^n+β^nを、α＋βとαβだけで表せず、困りました。　問題は、
２次方程式　x^2+x+1=0の２つの解をα,βとする。次の問にこたえよ。だたしnは整数とする。
(1) nが３の倍数のとき、α^n+β^nの値を求めよ。
(2) nが３の倍数のでないとき、α^n+β^nの値を求めよ。　　というものです。

α＋β=-1,αβ=1までわかったのですが、
α^n+β^n=(α＋β){α^(n-1)-α^(n-2)*β・・・+β^(n-1)}を使った解き方や、
α^2+α+1=0,β^2+β+1=0を使う解き方を、考えようとしたのですが、うまくいきません。
高次方程式や、複素数と方程式の範囲で、解き方を教えてもらえるとありがたいです。どなたかお返事お願いします。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

α, β を a, bと書くことにします。
a,b は２次方程式
　x^2+x+1=0 ...[1]
の２つの解なので,
解と係数の関係より
a+b= -1, ab=1 ...[2]
a^2 +a+1=0, b^2+b+1=0 (a≠1, b≠1) ...[3]

(1)
(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1=0 a^3=1 より a^3=1 ...[4]
同様にして b^3=1 ...[5]
>nが３の倍数のとき
n/3=m (mは正整数) ...[6]

a^n +b^n=(a^3)^(n/3) +(b^3)^(n/3)=(a^3)^m +(b^3)^m
=1^m +1^m
= 2 ... (Ans.)

(2)
> nが３の倍数のでないとき
n=3m-2, 3m-1 (mは正整数)

1] n=3m-2 (mは正整数) のとき
a^2+b^2=(a+b)^2 -2ab=(-1)^2 -2*1= -1 ...[7]
a^n +b^n=a^(3m-2) +b^(3m-2)
={(a^3)^m}/(a^2) + {(b^3)^m}/(b^2)
= (1^m)/(a^2) +(1^m)/(b^2)
=1/(a^2)+1/(b^2)
=(a^2+b^2)/(ab)^2
[2], [7] より
= (-1)/(1^2)
= -1

2] n=3m-1 (mは正整数) のとき
a^n +b^n=a^(3m-1) +b^(3m-1)
={(a^3)^m}/a + {(b^3)^m}/b
= (1^m)/a +(1^m)/b
=1/a+1/b
=(a+b)/(ab)
[2] より
= -1/1
= -1

1], 2] まとめて
a^n+b^n= -1 ...(Ans.)

お礼

nが3の倍数でないときの、場合分けは見事です。丁寧な解説ありがとうございます。

回答No.2

noname#232123

α^n+β^n=P[n] とおきます。恒等式、
(α+β)(α^n+β^n)=α^(n+1)+β^(n+1)+αβ{α^(n-1)+β^(n-1)} より、
P[n+1]+P[n]+P[n-1]=0, (P[1]=-1, P[2]=-1, P[3]=2) がなりたちます。(n=2, 3, ...)
[ ]内は番号です。以下この漸化式を利用します。
-----------------------
kを自然数として、
P[3(k+1)]=-{P[3k+2]+P[3k+1]}=-{-P[3k+1]-P[3k]}+P[3k+1]=P[3k]=2.
n≠3k のときも同様にその値が-1であることが示せます。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.1

tmpname

ヒント（書くのが面倒くさいのでa, bで書きます）
一般にx^2 -1 x^3-1 とかを含め、x^n-1の形のものを因数分解した時の形を覚えているかが鍵となります。

a^2 + a + 1 = 0なら、両辺に a-1を掛けると
(a^2 + a + 1 )(a-1) = 0 * (a-1) よって a^3 - 1 = 0、つまりa^3 = 1
同様に b^3 = 1
あとはもうわかると思います

お礼

お返事ありがとうございます。因数分解を用いた考えは、自分にはわかりませんでした。