放物線と円の共有点

質問

こんにちは。
問題と答えは、
放物線　　y=x^2　　と円　　x^2+(y-2)^2=r^2 (r>0)　　がある。

(1)４個の交点をもつrの値の範囲を求めよ。　　A、√7/2<r<2
(2)放物線と円の接するrの値の範囲を求めよ。 A, r=√7/2,2
です。
(1)では疑問は、　y^2-3y+4-r^2=0 にしてこれの判別式がD＞０となるのはわかるのですが、さらに異なる二つの解をα、βとすると、α＋β＞０　　αβ＞０　とも書いてあります。これはなんなんでしょうか？

(2)ではわかるのですが、重解について疑問があります。今までD>0で解が２つ、D=0で１つ、D<0で実数解なしだとおもってました。今回の問題で、r=√7/2のとき重解のようですがそれでは例えばr=2.5や4のときはなんなのでしょうか？実数解なしですか？僕には解がひとつあるように思えるのですが。なにか勘違いしているみたいです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞(1)では疑問は、　y^2-3y+4-r^2=0 にしてこれの判別式がD＞０となるのはわかるのですが、さらに異なる二つの解をα、βとすると、α＋β＞０　　αβ＞０　とも書いてあります。これはなんなんでしょうか？

　その理由は、α＞０かつβ＞０　でなければならないからです。
　この問題では、ｙ＜０の解はありえませんが、単に２次方程式のy^2-3y+4-r^2=0 としただけでは、負の解が出る可能性は排除していませんので、ｙ≧０の条件を加えなければなりません。
　また、ｙ＝０のときは交点が４つにはなりませんので、この条件も排除しなければなりません。
　そのため、ｙ＞０（正の２実解）となるための条件を追加する必要があります。

　さて、正の解を持つための条件「α＞０かつβ＞０」ですが、「α＋β＞０かつαβ＞０」と同値（必要十分)です。
　このことは、αβ平面を書いてもらえば分かります。αβ＞０は第１象限と第３象限に対応します。また、直線：β＝－αより上側に対応します。この条件を同時に満たすのは、第１象限だけ、つまりα＞０かつβ＞０　ということが分かります。
　また、α＋βとαβ　に条件を変えているは、2次方程式の解と係数の関係からすぐに求められるので、「α＞０かつβ＞０」で考えるよりも「α＋β＞０かつαβ＞０」で考えたほうが簡単です。
　そのため、異なるせいの実解を持つ条件として、Ｄ＞０とともに「α＋β＞０かつαβ＞０」を追加しているのです。

＞2)ではわかるのですが、重解について疑問があります。今までD>0で解が２つ、D=0で１つ、D<0で実数解なしだとおもってました。今回の問題で、r=√7/2のとき重解のようですがそれでは例えばr=2.5や4のときはなんなのでしょうか？実数解なしですか？僕には解がひとつあるように思えるのですが。なにか勘違いしているみたいです。

　この問題は、単に判別式から求めればよいわけでないことが混乱させる要因になっているように思います。
　放物線といくつかの半径を持った円(同心円)をグラフに描いてみてください。

　半径が小さいうちは交点を持たず、判別式は負になっています。
　　（ｒ＜√7/2、Ｄ＜０；共有点なし；接点なし）
　徐々に、半径を大きくしますと、ある値で接し、判別式が０になります。
　　（ｒ＝√7/2、Ｄ＝０；共有点2個；接点あり）
　さらに大きくなりますと、4点で交わり、判別式は正になります。
　　（√7/2＜ｒ＜２、Ｄ＞０；共有点４個；接点なし）
　さて、ここからが混乱の要因ですが、半径が２になったときに、2点で交わりながら、原点で接することが分かります。つまり、判別式では正なのに、接するというケースです。（問題では、この場合も含めてｒの条件に加えています。）　この場合、放物線と円が共有する点は３個あることになります。
　　（ｒ＝２、Ｄ＞０；共有点3個；接点あり）
　その後、さらに半径が大きくなったときは、もうお分かりだと思いますが、2点だけで交わります。
　　（ｒ＞２、Ｄ＞０；共有点2個；接点なし)

　以上のことをまとめれば、必ずしも判別式だけでグラフの共有点や接するか否かが判別できるわけではないことが分かるかと思います。
　その理由は、方程式をｙだけで考えた際に、グラフの第１象限と第２象限を一緒に扱ったせいで、ｘ＝０の原点のことを特別扱いしなければならなくなり、また(１)で説明しましたように判別式だけでは負や０になる解を排除することができないからです。

回答No.2

kkkk2222

ーーーーーーー
＞＞（α＋β＞０、αβ＞０）　

判別式だけでは、＜２実数解をもつ＞が、＜正か負か＞は判りません。
（二つの解が正）となる条件は、

＊（グラフの利用）
＊（解と係数の関係利用）

此処では、（解と係数の関係）を使用していて、
（二つの解が正）→
（α＋β＞０、αβ＞０）→
（３＞０、4-r^2＞０）→
（r＜２）　としてあります。

ーーー
＞＞r=√7/2のとき重解・・・r=2.5や4のときはなんなのでしょうか。
＞＞実数解なしですか。

y^2-3y+4-r^2=0　はＹにつぃての２次方程式です。
Ｙ＝Ｘ＾２　に置き換えると、
（Ｘ＾４）－３（Ｘ＾２）＋（４－Ｒ＾２）＝０　と　４次方程式になります。

４次方程式と見るほうが良いのですが、困難です。
４次方程式と見ると、

（＃１）　Ｒ＝２のとき、 ２実数解＋重解

Ｒ＝２のとき、
（Ｘ＾４）－３（Ｘ＾２）＝０
（Ｘ＾２）（（Ｘ＾２）－３）＝０
Ｘ＝０　（重解）、Ｘ＝±√３　（２実数解）
Ｘ＝０　（重解）　は、Ｒ＝２の時に、接する事を意味します。

（＃２）　＜r=2.5や4のとき＞、すなわち　Ｒ＞２のとき

（Ｘ＾４）－３（Ｘ＾２）＋（４－Ｒ＾２）＝０　は
（２実数解）＋（２虚数解）となり、

貴殿の疑問は自然です。

（２虚数解）であることを（直接示すのは困難なので）、

ひとつの方法としては、Ｒ＞２の円を描いて、Ｘの値が２個しかない。

もうひとつの方法は、
y^2-3y+4-r^2=0　において、Ｒ＞２のときは、Ｙは正の解、負の解をもつので、
Ｙが正の解のときは　Ｘは（２実数解）、
Ｙが負の解のときは　Ｘは（２虚数解）　となります。

此の問題は、
４次方程式　（Ｘ＾４）－３（Ｘ＾２）＋（４－Ｒ＾２）＝０　に言及する必要はないのですが、貴殿の疑問が此の事に関与しているので、記述しました。

ＴＥＸＴでは、Ｒ＝２のときに、接する事を示すために、４次方程式には言及はされていないはずです。
＊視覚的に見てＯＫとしてあるか、
＊Ｙ＝Ｏ→Ｘ＾２＝０→（重解）→(接する）　としてあると思います。
ーーー

お礼

お二方とも丁寧に説明してくださってありがとうございました。おかげさまでよくわかりました＾－＾。