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解と係数の関係を使って・・・
簡単な答えだとは思うんですが、この問題で、 【問題】 ｘについての二次方程式x"－（ａ－１）ｘ＋ａ＋６＝０がつぎのような解をもつように実数ａの値の範囲を求めよ。 →１つの解は２より大きく、他の解は２より小さい この時の条件は（α－２）（β－２）＜０の条件だけで この時Ｄ＞０は成り立っている。となっているんですが、なぜなんでしょう？ αβ＜０の条件だったならば当然 Ｄ＝（ａ－１）"－４（ａ＋６）＞０は、 αβ＝ａ＋６＜０なので同時に成り立つのはわかるのですが。。 『Ｘ”（ｘの２乗です） α，βは解です。 グラフ利用ではなく解と係数の公式を使う場合です。（数II） 』
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多分こういう事ですか？ （α－２）（β－２）＜０ ならば Ｄ＞０が成り立つ ※まで補足 ２つの解αとβを持つ２次方程式は、 (x-α)(x-β)=0 つまりx^2-(α+β)+αβ=0と書ける この式で判別式を取ると (α+β)^2-4αβ =α^2+2αβ+β^2-4αβ =α^2-2αβ+β^2 =(α-β)^2 つまりＤ=(α-β)^2 となります。 注意はαとβは実数 ※ つまりあなたの質問がこう変わります。 （α－２）（β－２）＜０ ならば (α-β)^2＞０が成り立つ で、その証明 （α－２）（β－２）＜０ ということは、 （α－２）と（β－２）が、符号が違う ということは 以下の２つの場合のみですよね。 i)α－２>0,β－２<０の時 α＞２，β＜２ α＞２、－β＞－２ つまり α－β＝α＋（－β）＞２＋（－２）＝０ α－β＞０ よって（α－β）＾２＞０ よってＤ＞０ ii)α－２<0,β－２>０の時 α＜２，β＞２ α＜２、－β＜－２ つまり α－β＝α＋（－β）＜２＋（－２）＝０ α－β＜０ よって（α－β）＾２＞０ よってＤ＞０ 対偶を取ると簡単なのになぁ
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- debut
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Ｎｏ６です。 私だったら、ちょっとの手間を省くために余分なことに気を回すより、 こういう系の問題のときは 最初にＤを計算しちゃいますね。 あいまいさを残しておくより、はっきりさせた方がずっと気分もいいし、 納得もいくというもんです。 おっしゃるように、時間もかからないし。
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
＞この時の条件は（α－２）（β－２）＜０の条件だけで ＞この時Ｄ＞０は成り立っている。となっているんですが、 ＞なぜなんでしょう？ これは ｘ^2の係数が正のときの２次関数f(x)のグラフで、f(2)＜０ としたことと同じことです。 f(2)＜０ならば、グラフは２点で交わる（２実数解をもつ）、かつ、 １つの解は２より小さく もう一方は２より大きい。 さて、f(x)=0のときα、βを解にもつ２次関数は f(x)=(x-α)(x-β) と 表現できます。そこで、ここに x=2 を代入すると、(2-α)(2-β) で、 f(2)＜０という条件のとき (2-α)(2-β)＜０ －１を２回かけると (α-2)(β-2)＜０ となります。 No1さんの補足で、 ＞３つの条件が必要となり判別式もいります。 これは、例えばα＝３＋ｉ，β＝３－ｉ（ｉは虚数）という解のとき （α－２）＋（β－２）≧０は (３＋ｉ－２)＋(３－ｉ－２)＝２で 成り立つし、 （α－２)(β－２）≧０は (３＋ｉ－２)(３－ｉ－２)＝(１＋ｉ)(１－ｉ) ＝２で成り立つ という場合が考えられるから、判別式を使わなくてはなりません。
再びごめんなさい。#1です 訂正: a+6-2(a-1)+4<0 -a+12<0 a>12 これはBを満たすからa>12を【答えとすることが出来る】
#1です。 どこで引っかかっているんだろう...もし解ったら指摘してもらえると嬉しいです。多分質問者様が 【(α-2)(β-2)>0がD>0根拠と考えている】のが問題なんだと思うのですが・・・【α,βを定義したことがD>0の根拠。但しこの方程式はaについて解かなくてはならない】 ====一応並び替えて解答を示すとこんな感じになります・・・========= 今x^2-(a-1)x+(a+6)=0という方程式がある。 仮定から二つの異なる解を持つからD>0でなければならない 【(α-2)(β-2)>0はまだ出てこず、関係がない。】 よって {-(a-1)}^2-4(a+6)>0・・・A (a-1)^2-4(a+6)>0 a^2-2a+1-4a-24>0 a^2-6a-23>0 (a-3)^2-32>0 (a-3)^2>32 a-3<-4√2またはa-3>4√2 a<3-4√2またはa>3+4√2・・・B 【つまり質問者様の補足どおりこれを求めるためにここで判別式を解く必要があります】 この条件を満たす時、二次方程式に二つの異なる実数解が存在する。 この時、この二つの実数解が定義できるからそれぞれαβとすると 問題文の方程式は (x-α)(x-β)=0 ⇔x^2-(α+β)+αβ=0と書ける 元の方程式との係数比較から α+β=a-1 αβ=a+6 であることが判明する。 仮定から (α-2)(β-2)<0 αβ-2(α+β)+4<0 a+6-2(a-1)+4<0 -a+8<0 a>8 これはBを満たすからa>8を【答えとすることが出来る】
補足
詳しい解説ありがとうございます。 わからない所が明確でなかったですね；； とりあえずわからなくなるまでの経路を説明してみます。 x^2－（ａ－１）ｘ＋ａ＋６＝０ もしこの方程式が異符号の解をもつのであれば条件は、 αβ＝ａ＋６＞０が条件です。 判別式ももし考えたならＤ＝（ａ－１）^2－４（ａ＋６）＞０ これは（ａ－１）^2＞０だし、αβ＞０の条件よりａ＋６＜０なのでこの判別式の条件を無視しても勝手になりたちます。 でもこれはαβの時であって、この問題（１つの解は２より大きく他方は２より小さい）の条件は (α-2)(β-2)＜０のみで、判別式はこのとき成り立っている。とかいてあったのです。 これはこの条件を満たすことで前者のようになぜ判別式Ｄ＞０が成り立っているのかがわからないのです。。 解答には α＜２＜βまたはβ＜２＜αとなる条件は (α-2)(β-2)<0 ←このとき、Ｄ＞０は成り立っている。 （以下は解答してくださった通り） 簡潔にいいますと、上の解答のＤ＞０は成り立っている。とかいてある部分がなぜ(α-2)(β-2)<0をみたすことで判別式の条件をみたすのかがわからないのです；； それほどたいした問題ではないとおもいますが回答再びおねがいします。
- Tacosan
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このようにテキストで表現する場合には「x の 2乗」を「x^2」と表現します. x" だと 2階微分ととられかねないので注意. でもとの問題を考えてみるんですが.... あれ? αβ < 0 のときはいいんですよね. だったら, もとの方程式で x = y+2 を代入して得られる新たな (y に関する) 2次方程式を考えればいいような.... ちなみに実係数代数方程式の複素解は必ず共役のものが対ででることを知っていれば, (α-2)(β-2) < 0 からは α, βとして実数しかとれないことがわかるので D = (α-β)^2 > 0.
補足
そうなんですか；；知りませんでした。。以後きをつけます。。 ぃゃ、解き方は確かにできるのですが、判別式の条件をぬかしていい意味がわからないんです；； ｘ＝ｙ＋２を入れたら余計とおまわりなような気がしますが。。（数学苦手なので変な事いってるかもしれません；；）
α,βという二つの異なる実数解が二次方程式から出てきた、と出題文から【仮定】できるからです。
補足
ん～それではこの問題の時は 【問題】 ｘ”－２ａｘ＋ａ＋６＝０について次の条件をみたすような定数ａの値を定めよ。 →２以上の２つの解をもつ この場合はＤ／４≧０，（α－２）＋（β－２）≧０， （α－２）（β－２）≧０ の３つの条件が必要となり判別式もいります。（この場合はα＝βで解が重解の場合がありますが。。） この場合でも同じ事がいえるのに判別式がいるのはどうしてでしょうか。。
補足
ここまでの回答にまとめてコメントさせてもらいます。 なるほど。。詳しく説明してもらったおかげでなんとなく理論はわかりました。 でもαβ＜０の時みたいに単純なものではないんですね；； これが最後の質問になるとおもいますが、 こういう系の問題がテストでてきた時って簡単に判別式がいるかいらないか見分ける方法ってありますか？ まぁ、たいして求めるのに時間はくわないし判別式を求めたほうが無難なような気がしますが。。 短いコメントで申し訳ありませんが回答して頂いた方には気分がはれてとても深く感謝しています。