非保存力の経路による仕事の計算

質問

大学の物理の授業で下記の問題を出題されました。

平面内で運動する質点に働く力fの直角座標成分がfｘ=axy　fｙ=by^2
(a,bは定数)と書けたとする。ｘ軸上の点A(r,0)からｙ軸上の点C(0,r)
まで、半径rの円周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合のf
のする仕事を求めよ。

弦の方は求めれたのですが、円周のほうがわかりませんでした。

答えは円周経路がＷ=∫(fｘdx＋fｙdx)={(b-a)r^3}/3となるらいしいのですがなぜこうなるかもわかりません。

どなたか解説していただけないでしょうか。よろしくおねがいします

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

W = ∫f~・dr~ = ∫(fxdx + fydy)

ですね。（ ~ はベクトル）

円周にそう経路積分ですから、
x = r cosθ,　y = r sinθ
dx = -r sinθdθ, dy = r cosθdθ
とおきます。

W = ∫{ a r cosθ r sinθ (-r sinθ) + b(r sinθ)^2 (r cosθ) }dθ
　= (b-a)r^3∫sin^2θcosθdθ
　= (b-a)r^3∫sin^2θ(sinθ)'dθ
　= (b-a)r^3[1/3・sin^3θ](0～π/2)
　= (b-a)r^3/3

となります。なお、積分範囲は(0～π/2)です。

お礼

ご回答ありがとうございました！参考にさせていただきました。