表面積の問題です。

質問

回転体の表面積。曲面がｚ軸を軸とする回転体の場合、すなわちr=ｆ(ｚ)，ａ≦ｚ≦ｂ，ｒ=√(ｘ^2+ｙ^2)と表されるとき、表面積が
2π∫_ａ~ｂ　ｆ(ｚ)√（1+ｆ'(ｚ))^2ｄｚで表されることを示せ。

この問題ですが、さっぱりわかりません。まず、(1)ｒ=ｆ(ｚ)としてあるのに、ｒ=√(ｘ^2+ｙ^2)とあること。これは要するにｆ(ｚ)=√(ｘ^2+ｙ^2)なのでしょうか？ｚの関数なのにｚがないとは？？これはｆ'(ｚ)をどう計算するのか？
(2)確かに接平面の曲面積＝∬_D√(fx^2+fy^2+1)dxdyですが、この場合には、最初にf(z)がきていますから。。。。手の付け方がわかりません。

誰かよろしければやさしく教えてください。

回答No.6

i536 · ベストアンサー

>でも、いつも回転体の側面積を求めるときはその公式に当てはめていいのですかね？

ええ大丈夫です。
球の表面積S=４πr^2をはじめ、いろんな関数の回転体の表面積がこの式から面白いように解けます。
高校まではそうなると信じさせられて暗記するしかなかったいろいろな公式が自力で作れます。
私はこの式自身は覚えていませんが、式の導きかただけは覚えていて必要なときにこの公式を
生成して利用します。

お礼

親切な回答ありがとうございました！大変参考になりました！ありがとうございました！

回答No.5

i536

>接平面については∬の中身が√（1+fx＾2+fy＾2）だけなのに、
>回転体の側面積になると、その中身がｆ(x)√（1+ｆｘ＾2+ｆｙ＾2）になるということですか？

いいえ、回転体の側面積になると、その中身は、2πf(z)・√（1+f'(z)^2)・ｄz　となります。
図が使えないので説明しにくいですが、√（1+f'(z)^2)・ｄz　は、
＃１で書いた微小直角三角形の斜辺の長さです。
この斜辺の長さが、ぐるりと2πf(z)だけｚ軸を回転軸として回転しますので微小側面積は
2πf(z)・√（1+f'(z)^2)・ｄz　
となります。

いま気付きましたが！！！、
回転体の表面積は、質問で書かれている、2π∫_ａ~ｂ　ｆ(ｚ)√（1+ｆ'(ｚ))^2ｄｚでなく、
2π∫_ａ~ｂ　ｆ(ｚ)√（1+ｆ'(ｚ)^2)ｄｚ
が正しいです（２乗のかかり方が違っています）。

お礼

書き間違いでした、すみませんでした。わかりました、考え方が！！でも、いつも回転体の側面積を求めるときはその公式に当てはめていいのですかね？

回答No.4

i536

>あと、ｚを一つのパラメーターとしてz軸に垂直な平面での回転角θをもう一つのパラメータとみなして解いたらどうなるんですか？

ずばり、これが質問された問題の解答方法です。
ただ、上記θが回転体なので０～２π固定になりますので、2πｆ(ｚ)という項がご質問の式の中に含まれていたわけです。
またこれが＃１で『回転体の側面積は、接平面の面積と考え方が異なります』と書いた理由です。

お礼

ということは、接平面については∬の中身が√（1+fx＾2+fy＾2）だけなのに、回転体の側面積になると、その中身がｆ(x)√（1+ｆｘ＾2+ｆｙ＾2）になるということですか？

回答No.3

i536

＞ｒ=√(ｘ^2+ｙ^2)はｚ軸の1点を定めた場合の回転体の切断面の円周の式です。
＞円周の式なのですか？半径ではないんですか？
ものの見方の違いです、半径といってもかまいません、
y=ax + b を、yといっても、直線の式といってもかまわないように。
このｒ=√(ｘ^2+ｙ^2)は、r　がx,yの関数であるということ、
すなはち、x,yとしてどんな値と代入してもいいと主張しているわけではなくて、
r,x,yの３つを互いに限定してる方程式だといっているのです。
この限定されたx,yの軌跡全体をながめると円になっているので、円周の式と私は書きました。
もちろん、x,yの軌跡全体を観て、円の半径に注目すれが半径の式ともいえます。

この式ｒ=√(ｘ^2+ｙ^2)は蛇足みたいなもので、この問題では重要ではありません。
ｒ=ｆ(ｚ)のｒと混同しないように、むしろ、まったく考えないほうがいいかもしれません。
ｒ=ｆ(ｚ)はあくまで回転体の半径ｒはｚの値ひとつのみで決定されるということを主張しています（x,yに無関係に！）。
ある特定のｚの値に対してｆ(ｚ)にしたがって確定された半径ｒを、ｘ、ｙに関連してながめると
ｒ=√(ｘ^2+ｙ^2)の関係が成立しているとおまけて言っているにすぎません。

＞ｚ軸を横軸にして一直線を引いてみます。
＞z軸以外に一直線を引くのですか？それともｚ軸を一直線とみなすのですか？
ご質問の問題から離れて、まったく白紙の状態で、横軸として一直線を描き、
その軸名をzとするという意味です。

＞すると、曲線ｒ=ｆ(ｚ)=r(ｚ)がこの平面上に描けます。
＞ここの意味がわかりません。
＞ｒ'(ｚ)=f'(z)です。
＞これもなぜそうなるのかがわかりません。
ｒ=ｆ(ｚ)は、回転体の半径ｒはｚの関数であるという意味です。
つまり、ｚをひとつ決定すればそれに対応する回転体の半径ｒがx,yに無関係に
一つ決定されるという意味です。
回転体の半径ｒがｚの関数であることを認識しやすいように、
ｆでなく、ｒを使っただけです（深い意味はありません）。
わかりにくければ、r(z)をｆ(z)に置き換えてください。
同様にｒ'(ｚ)もf'(z)に置き換えてください。

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わかりにくいようでしたらまた補足を書いてください。

お礼

ありがとうございました！なるほどですね！ｒ＝√(x＾2+y＾2)は蛇足みたいなものなのですね！！そこがすっきりしなかったのですが、わかりました！あと、ｚを一つのパラメーターとしてz軸に垂直な平面での回転角θをもう一つのパラメータとみなして解いたらどうなるんですか？よかったら教えてください。

回答No.2

i536

#1で下記を訂正します。
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微小直角三角形[(z,r(z)),(z + dz,r(z)),(z + dz,ｒ'(ｚ)*dz)]を、
微小直角三角形[(z,r(z)),(z + dz,r(z)),(z + dz,r(z + dz))]に訂正します。
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この微小直角三角形の直角を挟む２辺の長さは、
{dz,　r(z + dz)-r(z) =r'(z)*dz}です。

回答No.1

i536

ｒ=ｆ(ｚ)について。
これは、ｚ軸を軸とする回転体の半径がzのみで決定される関数であることを教えています。
ｆ(ｚ)=√(ｘ^2+ｙ^2)という意味ではありません。
ｒ=√(ｘ^2+ｙ^2)はｚ軸の1点を定めた場合の回転体の切断面の円周の式です。

考え方を以下に示します。
回転体の側面積は、接平面の面積と考え方が異なります。

ｚ軸を横軸にして一直線を引いてみます。
この一直線上に原点0,点a、点bをとります。
この原点0から、ｚ軸と直交する直線ｒを引きます。
すると、曲線ｒ=ｆ(ｚ)=r(ｚ)がこの平面上に描けます。

ｚ軸の[a,b]間の適当な点zをとり、さらに点(z + dz)をとります。
点z,点r(ｚ),点(z + dz),点r(z + dz), ｒ'(ｚ)=f'(z)です。、
微小直角三角形[(z,r(z)),(z + dz,r(z)),(z + dz,ｒ'(ｚ)*dz)]と三平方の定理とから
微小直角三角形の斜辺長が√(dz^2 + dr^2)=√(1+(dr/dz)^2)*dzと求まります。
りんごの皮をナイフでグルリとむいた帯に相当する部分の微小帯(=微小側面積)は
回転体の半径(=高さ)ｒと上記微小斜辺長を組みあわせると下式で求まります。

2πr*√(dz^2 + dr^2)=2πr*√(1+(dr/dz)^2)*dz

したがって、ｚ軸の[a,b]間の側面積は、

2π∫_ａ~ｂ　ｆ(ｚ)√（1+ｆ'(ｚ))^2ｄｚ.

補足

回答ありがとうございます。自分が未熟ですから疑問点もあります。
＞ｒ=√(ｘ^2+ｙ^2)はｚ軸の1点を定めた場合の回転体の切断面の円周の式です。
円周の式なのですか？半径ではないんですか？
＞ｚ軸を横軸にして一直線を引いてみます。
z軸以外に一直線を引くのですか？それともｚ軸を一直線とみなすのですか？
＞すると、曲線ｒ=ｆ(ｚ)=r(ｚ)がこの平面上に描けます。
ここの意味がわかりません。
＞ｒ'(ｚ)=f'(z)です。
これもなぜそうなるのかがわかりません。
解説してもらえれば大変助かるのですが。よろしくおねがいします。