全微分可能性の問題です。(再考しました)

質問

回答者の皆様にはいつもお世話になります。
以下の全微分の問題ですが、全微分可能性の厳密な理解が私自身できていない気がします。
お知恵をお貸しください。

問題：f(x,y)が点(a,b)で全微分可能である事の定義を示し、それを利用してf(x,y)=√(1-x^2-y^2)の原点での微分可能性を証明せよ。

f(x,y)がxとyについて偏微分可能である。(fx,fyと表現します)

f(x,y)を点(a,b)の周りで一次近似する最良の平面はf(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)であり、その誤差εはf(x,y)-{f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)}となる。

(x,y)→(a,b)の時、この誤差εがベクトル((x-a),(y-b))の絶対値√((x-a)^2＋(y-b)^2)より先に0になれば微分可能なので、lim[(x,y)→(a,b)]　[f(x,y)-{f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)}]　/ √((x-a)^2＋(y-b)^2)=0がf(x,y)の点(a,b)における全微分可能の定義となる。

f(x,y)=√(1-x^2-y^2)のとき、f(0,0)=1
fx(x,y)=-2x・{1/2√(1-x^2-y^2)}より、fx(0,0)=0
fy(x,y)=-2y・{1/2√(1-x^2-y^2)}より、fy(0,0)=0

∴ε=√(1-x^2-y^2)-1-{0・(x-0)＋0・(y-0)}=√(1-x^2-y^2)-1
又ベクトル(x-0,y-0)の絶対値は√(x^2+y^2)

以上より、lim[(x,y)→(0,0)]　{√(1-x^2-y^2)-1}/√(x^2+y^2)=0の時、全微分可能

極座標で考えると、(x,y)→(0,0)の時、r→0であり、x=r・cosθ,y=r・sinθ、
代入してlim[ｒ→0]　{√(1-r^2)-1}/r、分子を有理化して、
lim[ｒ→0] -r^2/{r√(1-r^2)+1}=lim[ｒ→0] -r/{√(1-r^2)+1}=-0/2=0

つまり全微分可能である。

というアプローチで如何でしょうか？
ご指導願います。

回答No.2

jmh · ベストアンサー

izayoi168さんが#1補足でされていることは、たぶん「ｆを線型写像で近似したい（一次近似する最良の平面を求めたい）」とうい動機で全微分を開始して、結果としてヤコビ行列を得た…ということだと思います。
参考ＵＲＬは、Wikipediaの「ヤコビ行列」です。ここに微分可能の定義が載ってますが、貴方の全微分可能の定義はｍ＝１の場合だと思います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97

お礼

ヤコビ行列、参考になります！
これで理解が進みそうです、有難うございました！

回答No.1

jmh

> 一次近似する最良の平面はf(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)
>
例えば、「（ａ，ｂ）で２つの偏微分係数を計算できれば、その曲面？を一次近似する最良の平面も発見できる」と言っていますか？

補足

先ずは、ご回答ありがとう御座います。

曲面やら接平面から考えると良く解らなくなりますので、方向性を変えてみました。

関数f(x,y)において、点(a,b)から点(a+h,b+k)に移動した際の変化量ΔfはΔf=f(a+h,b+k)-f(a,b)である。

この時、h及びkに関係なくf(a,b)によってのみ定まる定数A,Bが存在し、

Δf=f(a+h,b+k)-f(a,b)=Ah+Bk+ε√(h^2+k^2) , lim[(h,k)→0]　ε=0　
ならば全微分可能といえる。

この時、k=0としてbを固定すると、
Δf=f(a+h,b)-f(a,b)=Ah+ε|h| , lim[(h,k)→0]　ε=0
∴A=｛f(a+h,b)-f(a,b)｝/h-ε(|h|/h)
つまり、A=ｆｘ(a,b)…偏微分

同様にh=0としてaを固定すると、B=fy(a,b)

以上より、Δf=f(a+h,b+k)-f(a,b)=fx(a,b)h+fy(a,b)k+ε√(h^2+k^2)
変形して、ε√(h^2+k^2) =f(a+h,b+k)-f(a,b)-{fx(a,b)h+fy(a,b)k}

ε=｛f(a+h,b+k)-f(a,b)-{fx(a,b)h+fy(a,b)k}｝/√(h^2+k^2) , lim[(h,k)→0]　ε=0
の条件下で全微分可能//

という考え方はどうでしょうか？
お手数をお掛けいたします。