同相写像であることの証明

質問

次の関数fが同相写像であること、すなわちfが全単射で連続、かつf^-1が連続であることを示したいのですが主に２つの関数の連続性が証明できず困っています。ご教授いただければ幸いです。
f:
z∈{z∈C:|Im(z)|＜π}
→
e^z∈C \(-∞,0)

回答No.1

jcpmutura

A={z∈C:|Im(z)|<π}={z∈C:z=x+iy,x,yは実数で|y|<π}
B=C-(-∞,0)={w∈C:w=x+iy,x,yは実数でy=0の時,x>0}
に対して関数
f:A→B
を
z∈A→f(z)=e^z=Σ_{n=0～∞}z^n/n!
と定義する
z∈Aとすると
z=x+iy
x,yは実数で|y|<π
f(z)=e^z=e^{x+iy}=(e^x)(cosy+isiny)
e^zは連続で
f'(z)=e^z
だからfは無限回微分可能で
導関数f'も連続だから中間値の定理から
(e^w-e^z)/(w-z)=e^{z+t(w-z)}
0<t<1となるtがある

関数
g:B→A
を
w∈B→g(w)=log|w|+i*arg(w)
-π<arg(w)<π
と定義する
z∈Aとすると
x,yは実数で|y|<π
g(f(z))
=g(f(x+iy))
=g(e^{x+iy})
=g{(e^x)(cosy+isiny)}
=log|(e^x)(cosy+isiny)|+i*arg{(e^x)(cosy+isiny)}
=log|e^x|+i*arg(cosy+isiny)
=x+iy

w∈Bとすると
im(w)=0の時re(w)>0
f(g(w))
=f(log|w|+i*arg(w))
=e^{log|w|+i*arg(w)}
=e^{log|w|}e^{i*arg(w)}
=|w|{cos(arg(w))+isin(arg(w))}
=w
だからgはfの逆関数となる
g=f^{-1}

任意のε>0に対して
z=a+ib
b≠0の時d=|b|/2
b=0,a>0の時,d=|a|/2
δ=min(ε,1)d
とすると
0<|w-z|<δ
となる任意のwに対して
b≠0の時d=|b|/2≦√(a^2+b^2)}-|b|/2≦|z|-δ<|w|<|z|+δ
b=0の時d=|a|/2=|a|-|a|/2≦|z|-δ<|w|<|z|+δ
fの導関数が連続だから中間値の定理から
(w-z)/{g(w)-g(z)}=e^{(1-t)g(z)+tg(w)}=z^{1-t}w^t
0<t<1となるtがある
|z^{1-t}w^t|>d^{1-t}d^t=d
だから
|g(w)-g(z)|=|w-z|/|z^{1-t}w^t|<ε
だから
g=f^{-1}は連続

∴fは同相写像