距離関数であることの証明

質問

(・|・)をR^3の標準内積であるとし、S^2={p∈R^3:(p|p)=1}とおく。d:S^2*S2→Rを
d(p,q)=arccos(p|q)　(p,q∈S^2)
で定義する。このとき、dはS^2上の距離関数であるか。

・・ということを示す問題なのですが、

(距離関数のdef.)
S^2:集合
d:S^2*S2→RがX上の距離関数
(D1)d(x,y)≧0
(D2)d(x,y)=0⇔x=y
(D3)d(x,y)=d(y,x)
(D4)d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)

これについて考えればよいとは思うのですが、どのように式変形すればよいのかわかりません。

回答よろしくお願いします。

回答No.1

noname#108210 · ベストアンサー

d(p,q)=arccos(p|q)　(p,q∈S^2)
なのだから，
d(p,q)=θとおけば，cosθ=(p|q)

(D1)d(x,y)≧0
cosθ=(p|q)でθ≧0が成り立つかどうか。他も同様。

お礼

回答ありがとうございました！

＞d(p,q)=θとおけば，cosθ=(p|q)

これはＯＫなのですが・・・

＞cosθ=(p|q)でθ≧0が成り立つかどうか

これをどのように調べればよいのでしょうか？？
(p|q)を変形して考えるのでしょうか？？