単位円の内部にある放物線の弧の長さの上限は？

質問

単位円を固定します。
そこに放物線を描き、単位円の内部にある弧の長さを考えます。
放物線を動かしたとき(開き具合も変化する)、その弧の長さは4を超える場合があるそうなのですが、どのように証明すればよいのでしょうか?
また、上限はどうなるのでしょうか？

逆に、放物線を固定し、例えば、y=ax^2とします。
どこでもいいので単位円を描き、単位円の内部にある放物線の弧の長さを考えます。
単位円を動かしたとき、弧の長さの最大値と、単位円の位置はどうなるのでしょうか？

回答No.10

kotokototo · ベストアンサー

No.7 です。

> 添付いただいた画像右上の a<1/2 は、結局は0<a<1でいいのですよね。
おっしゃるとおりです。
文章中にも 1/2 で説明している部分もありますが、
適当に読み替えてください。

> では、aとbの2変数関数Lで、bを固定し、aを動かしたときのL(a)の最大値の様子はどうなるのでしょうか？
こちらは難しそうですね。
b=-1 のときでも Lmax が4を超えることはわかっても、
最大値やそのときの a の値などは解析的には解けませんでしたが、
一般に b を固定したときもとんでもない式が出てきました。

b 固定したときの L(a) の最大値は
b についての単調減少関数になっているのではないか、
ぐらいにしかイメージできませんでした。
それすら自信なしです。

> (d/db)L(a,b) (where b=-a) = 0
少しの工夫としては
> (1/2a)[t√(t^2+1)+arcsinh(t)]
> where t=2aα
でαを残したまま b で偏微分すると
　(∂/∂b)L(a,b)
= 2√{1+(2aα)^2}*(∂α/∂b)
となるので、あとは ∂α/∂b を計算した結果
　(∂/∂b)L(a,b) = √{1+(2aα)^2}/(aα)*{-1 + 1/√(4a^2 + 4ab + 1)}
において、b=-a とすると
最後の中括弧の中が 0 になることがわかります。

回答No.9

kotokototo

No.7 です。

> a<1/2とすると、弧長が最大になるときのbの値はaに依存していると思われて難しそうなので
確かに a に依存しますが、こちらも直感的にいけます。
y=ax^2+b とすると、b=-a のときになります。

No.8 の回答では2次関数固定の座標で
> 積分範囲が -1≦x≦1 のようになるときが最大だと思います。
> つまり
> 　x^2 + (y-a)^2 = 1
> です。
のように書きましたが、円のほうを固定すると
　x^2 + y^2 = 1
　y = ax^2 - a　（0<a<1/2）
のときに最大になります。
このとき交点が x=±1 のところにあり、
積分範囲が最大になっています。

具体的に下の画像で見てみます。
まずは a<1/2 の極端な例として a→0 の極限を考えます。(画像左上のグラフ)
このとき2次関数はほぼ x軸に平行な直線になっているので
b=1 から b=-1 まで移動させていくと、
画像にあるように b=0 のとき Lmax = 2 (円の直径)となります。
ほぼ直線の2次関数を上に動かしても下に動かしても
2より短くなるのはすぐにわかると思います。

つぎに画像右上の a<1/2 のグラフを見てください。
b=-a として
　y = ax^2 -a
のグラフを書いています。
このとき交点のx座標は±1となるので積分範囲が最も広くなります。
a→0 の極限のときと同じく
2次関数を上下どちらに動かしても積分範囲は -1≦x≦1 より狭くなってしまいます。

ある a (<1/2) に対して2次関数が (±1, 0) を通るときに
L(b) が最大値 L(-a) をとる状況はいつまで続くのかというと、
画像左下の a=1 になるときまでとなります。
これは、a>1 のときに2次関数が (±1, 0) を通ると頂点が円の外に出てしまうからです。
これが No.8 の回答で
> ただ、円と接するかどうかの境目は a=1/2 ですが、
> 　Lmax = 2∫[0,1] √{1+(2ax)^2}dx
> が最大となるのは a≦1 になりそうです。
のように書いた理由です。

あとは a>1 のときは画像右下のグラフのように
頂点が (0, -1) を通る2次関数のとき、
そのときの a に対して L(b) は最大値 L(-1) をとります。

あとは a を変数として動かすと、
a の値が大きくなるにつれて2次関数が閉じていき、
今までの回答にあったように a≒94 で L が最も大きくなります。

> たとえばa=1/4として考えてみる。
> Lmax≒2.08
上の議論により a=1/4 のときは
　y = (1/4)x^2 - 1/4
のときに
　Lmax
= 2∫[0,1]√{1+(x^2)/4}dx
= √5/2 + 2Arcsinh(1/2)
≒2.08
となり、b=-a=-1/4 で質問者さんの計算と一致しているのが分かります。

お礼

まことにありがとうございます。
添付いただいた画像右上の a<1/2 は、結局は0<a<1でいいのですよね。
以下感想です。

x^2+y^2=1内にあるy=ax^2+bの弧長を考える。
二次関数は下に凸で、頂点は単位円内にあるとしておく。
つまり、a>0,-1≦b≦1としておく。
単位円と二次関数が頂点以外の交点をもつとき、その交点の正のx座標をαとすると、
a^2x^4+(2ab+1)x^2+b^2-1=0より、
α^2={-2ab-1+√(4ab+1+4a^2)}/2a^2

弧長Lは、
L=2∫[0,α]√{1+(2ax)^2}dx
2ax=tとおいて、
L=(1/a)∫[0,2aα]√{1+t^2}dx
=(1/2a)[t√(t^2+1)+arcsinh(t)] t=0,2aα

これはaとbの2変数関数ですが、aを固定し、bを動かしたときのL(b)の最大値の様子が、回答いただいた図によってよくわかりました。
つまり、二次関数の2次の係数が与えられたとき、頂点をどこにとれば、切り取られる弧長が最大になるか、がよくわかります。

では、aとbの2変数関数Lで、bを固定し、aを動かしたときのL(a)の最大値の様子はどうなるのでしょうか？
つまり、二次関数の頂点の位置が与えられたとき、2次の係数をどのようにとれば、切り取られる弧長が最大になるでしょうか？
例えば、b=0とします。x^2+y^2=1内にあるy=ax^2の弧長は、
[√{-2+2√(1+4a^2)}√{-1+2√(1+4a^2)}+arcsinh√{-2+2√(1+4a^2)}]/2a
となり、僕の計算によるとa≒1.8のとき、最大2.09378くらいになります。直感ではまったくとらえきれませんでした。

また、ニ変数関数L(a,b)は、
L(a,b)=(1/2a)[t√(t^2+1)+arcsinh(t)]
where t=2aα , α^2={-2ab-1+√(4ab+1+4a^2)}/2a^2
ですが、回答いただいた図的直感より、
0<a<1でaを固定したとき、b=-aで最大値をとることから、
L(a,b)≦L(a,-a)
(d/db)L(a,b) (where b=-a) = 0
となるのですね。この式はたいへん複雑ですが、具体的に書くと、自明になってしまうのでしょうか、それともなにか意味があるのでしょうか？

この種の問題として、
「与えられた三角形に内接する楕円で面積最大のものは何か?」「答えは、シュタイナー楕円」
というのは知っていましたが、今回は、
「単位円が切り取る二次関数のグラフで、弧長最大のものは何か?」「答えは、二次の係数が約94」
というおもしろい結果だと思いました。
そのほかに類似問題はたくさん考えれそうですが、なにかおもしろそうなものを思いついた方は教えてください。

回答No.8

kotokototo

No.7 です。

> a≧1/2のとき、単位円の中心が(0,1)にあるときが、弧長が最大 2∫[0,{√(2a-1)}/a] √{1+(2ax)^2}dxになりそうです。
y 軸方向に全体を移動させるだけですからこれでよいと思います。

ただし、単位円固定の場合と同様、
軸が x=0 のときに最大値を取ることが前提になっています。
a≒94 のときに a→∞ の L→4 をわずかに上回ったように、
軸が x=0 から少しずれたときに 4.00267… をさらに上回らないという保証はありません。

二次関数の軸が x=k のときの最大値 Lmax(k) のグラフが
下の画像のようになっている可能性を否定できていません。
このあたりは数値計算に頼るしかないと思います。

> 0<a≦1/2のとき、はどうなるのでしょうか？
これも軸が x=0 の前提ですが、
積分範囲が -1≦x≦1 のようになるときが最大だと思います。
つまり
　x^2 + (y-a)^2 = 1
です。

ただ、円と接するかどうかの境目は a=1/2 ですが、
　Lmax = 2∫[0,1] √{1+(2ax)^2}dx
が最大となるのは a≦1 になりそうです。

お礼

ありがとうございます。
別に考えてみました。

x^2+y^2+1内にあるy=ax^2+bの弧長を考える。
a>0,-1≦b≦1としておく。
a>1/2のとき、頂点以外の交点があるとき、その交点の正のx座標をαとすると、
a^2x^4+(2ab+1)x^2+b^2-1=0より、
α^2={-2ab-1+√(4ab+1+4a^2)}/2a^2

弧長は、
2∫[0,α]√{1+(2ax)^2}dx
2ax=tとおいて、
(1/a)∫[0,2aα]√{1+t^2}dx
=(1/2a)[t√(t^2+1)+arcsinh(t)] t=0,2aα

これはaとbの2変数関数。
b=-1と固定したときの結果は回答いただいているので、
aを固定し、bを変数とみなす。
a≧1/2とすると、弧長が最大になるのは直感的にb=-1のとき。
a<1/2とすると、弧長が最大になるときのbの値はaに依存していると思われて難しそうなので、たとえばa=1/4として考えてみる。このとき、弧長Lは、

L=2[t√(t^2+1)+arcsinh(t)] t=0,α/2
ただし、α^2=8{-b/2 - 1 + √(b+1+ 1/4)}
⇔α^2={-4b-8+4√(4b+5)}
⇔α/2=√{-b-2+√(4b+5)}

L=2√{-b-2+√(4b+5)}√{-b-1+√(4b+5)}+arcsinh{√{-b-2+√(4b+5)}}

Lmax≒2.08

このときのbの値は計算できませんでした。

回答No.7

kotokototo

No.4 さんの
> このグラフを描いて最大値を求めると
のあたりの処理を以下のようにやってみました。

L = 2∫[0,{√(2a-1)}/a] √{1+(2ax)^2}dx
　= [arcsinh{2√(2a-1)}+2√{(2a-1)(8a-3)}]/(2a)

を a で微分すると
　dL/da = [ 2√{(8a-3)/(2a-1)} - arcsinh(2√(2a-1)) ]/(2a^2)
となるので、L が最大となるような a=α は
　2√{(8α-3)/(2α-1)} = arcsinh(2√(2α-1))　　　……(※)
を満たします。

概算してみると
　(※) ⇔ exp[2√{(8a-3)/(2a-1)}] = 2√(2a-1) + √(8a-3)
で a がある程度大きいことから左辺を exp[4] として
　e^4 = 2√(2a-1) + √(8a-3)
を解くと
　a = (1/32)*e^8 + 7/16 + 1/(32*e^8)
となり、この第1項は 93.1549… となっていて
No.4 さんの数値計算の結果にある程度近い値が求まっています。

概算の話はここらへんにして、
数値計算なしに最大値が4を超えることを確認してみます。

a = αのとき
L = [arcsinh{2√(2α-1)} + 2√{(2α-1)(8α-3)}] / (2α)
　= [2√{(8α-3)/(2α-1)} + 2√{(2α-1)(8α-3)}] / (2α)
　= [√{(8α-3)/(2α-1)} + √{(2α-1)(8α-3)}] / α
　= [√(8α-3) + (2α-1)√(8α-3)] / (α√(2α-1))
　= 2√{(8α-3)/(2α-1)}
　> 2√{(8α-4)/(2α-1)}
　= 2√4
　= 4
となって、最大値は4を超えることが分かります。

4を超えることだけなら数値計算なしに簡単に証明できますが、
最大値となると回答者の皆さん共通の
　y = ax^2 - 1
の場合でも解析的に解けない方程式が出てくる上に、
2次関数の軸が x = 0 にないときに最大を取ることはないという証明も面倒ですね。

お礼

みなさまに感謝します。
すごい結果に驚きです。

ところで、後半はどうなるのでしょうか？
逆に、放物線を固定し、例えば、y=ax^2とします。
どこでもいいので単位円を描き、単位円の内部にある放物線の弧の長さを考えます。
単位円を動かしたとき、弧の長さの最大値と、単位円の位置はどうなるのでしょうか？

a≧1/2のとき、単位円の中心が(0,1)にあるときが、弧長が最大 2∫[0,{√(2a-1)}/a] √{1+(2ax)^2}dxになりそうです。
0<a≦1/2のとき、はどうなるのでしょうか？

回答No.6

info22

#4です。

参考まで
A#4のLの最大値を数値計算でより正確に求めると
a=94.09128119599583　のとき　Lmax=4.002670297679956
となります。

このときの単位円と放物線のグラフを添付します。
単位円によって切り取られる放物線の部分(L=Lmax)はの図の水色の
線の部分になります。

回答No.5

sun0803jp

回答日時：09/12/04 11:57回答番号：No.3
の追記です。

a>0と書きましたが、a ≧(1/2)です。a= 1/2は放物線と円が接するときであり、これ以上小さいと放物線が円の内部に存在しなくなります。

回答No.4

info22

x^2+y^2=1
y=ax^2-1
の交点(±{√(2a-1)}/a,(a-1)/a)
単位円内の放物線の長さLは次式のように求まる。
L=2∫[0,{√(2a-1)}/a] √{1+(2ax)^2}dx
=[arcsinh{2√(2a-1)}+2√{(2a-1)(8a-3)}]/(2*a)
このグラフを描いて最大値を求めると
a≒94の時、最大値をとり　Lmax≒4.002670296 ＞ 4
となります（証明終り）。

回答No.3

sun0803jp

これは昨日の深夜番組の数学の問題ですか？
昨日の問題は難しかったですね。

【解法】
放物線の方程式を
y=ax^2-1
として、積分して解くと

(1/4a)[2sin(z)/cos^2(z)+ln{(1+sin(z))/(1-sin(z))}-ln1]
ただし、z = arctan(2*a*X)
になります。

ここで、Xは放物線と円の交点のx座標の値です。
X=(2*a-1)^(1/2)/a　(ただし、a>0)
です。
これ以上解析的に解くことができませんが、的を得た近似を使うと
もっときれいに解くことができるのかもしれません。

ちなみに、この積分結果を数値計算していくと
a=34あたりから4を超えることが分かります。

回答No.2

naniwacchi

私も感覚的な話になってしまいますが。

「４」という数字ですが、単位円の直径を「行って帰ってくる」とちょうど４になります。
ということは、結構微妙な数字かもしれません。

直径を往復するということを踏まえて、次のようなアプローチを考えてみました。

・まず、単位円として x^2+ y^2= 1を考えることにします。
・直径を往復するイメージから、放物線の軸は y軸に合わせ、かつ 頂点を(0, -1)としてしまいます。
放物線が円に一番深く入り込んでいるイメージです。
・すると、放物線の方程式は y= a* x^2ー 1と書けます。ここでは暗黙に下に凸であるとしています。
・あとは、交点の x座標(x= 0は接点になる)を求めて、曲線の長さを積分します。
積分の計算がちょっと面倒かもしれません。

最大や最小のときには、「対称性」がつきまとうことが多いので、
そういう点からも軸を合わせるというイメージになっています。

回答No.1

gohtraw

４を超える「場合がある」ことを示せればいい訳ですね。感覚的な話で恐縮ですが、原点を中心とする単位円に対して頂点を（０，－１）とする放物線を考え、ｘ＾２の係数を振ってみたらどうなるでしょうか？
　あるいは頂点を円周上においてみるとか。