放物線についてです。

質問

今、大学受験生なのですが、どうしてもわからない問題があります。

xy平面上で曲線√X＋√Y＝１は放物線の一部（放物弧）であることを示せ。

という問題なのですが、どのように証明したらよいのでしょうか？
誰か、教えていただけませんでしょうか？

回答No.1

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こんにちは。
式を書き換えたらどうなるでしょう？
両辺を二乗すると、
Ｘ＋２√ＸＹ＋Ｙ＝１
（１－（Ｘ＋Ｙ））＾２＝４ＸＹ
１－２（Ｘ＋Ｙ）＋（Ｘ＋Ｙ）＾２＝４ＸＹ
１－２（Ｘ＋Ｙ）＋（Ｘ－Ｙ）＾２＝０
２（Ｘ＋Ｙ）＝（Ｘ－Ｙ）＾２＋１
となりますよね。
ここでＸ＋Ｙ＝ｙ，Ｘ－Ｙ＝ｘとすると、この式は
２ｙ＝ｘ＾２＋１という２次曲線（放物線）の式になります。

また、この場合のｘ軸はＸ－Ｙ＝０の直線、つまりＹ＝Ｘですね。
そしてｙ軸はＸ＋Ｙ＝０の直線、つまりＹ＝－Ｘですね。
この２つは書いてみると分かるのですが、直交してます。
となると、この２つの軸は要するに通常のＸＹ軸ではなく、
４５度回転した軸をそれぞれｘ軸、ｙ軸とする２次曲線であると見ることができます。

分かりますか？
ただし、つらつら考えながら書いたので、学生さんの授業でいう正答であるかは
わかりません。ごめんなさい。

お礼

とても、わかりやすかったです。ありがとうございました。