放物線と円

質問

y=ax^2の放物線と中心が(0,1)半径がrの円が共有点を１つ持つ条件はr=1,0<a≦1/2となっているのですが、後者の不等式の意味がわかりません。a>0です

回答No.2

deshabari-haijo · ベストアンサー

ANo.1の一部訂正です。

下から3行目並びに2行目（いずれもa=1/2）
誤：「a^2x^2=0」→正：「x^2/4=0」
誤：「a^2x^4=0」→正：「x^4/4=0」

回答No.1

deshabari-haijo

円の方程式は、
x^2+(y-1)^2=1^2
x^2+y^2-2y+1=1
これにy=ax^2を代入すると、
x^2+a^2x^4-2ax^2+1=1
a^2x^4-(2a-1)x^2=0
x^2{a^2x^２-(2a-1)}=0
x=0が2重解になることは明らかであるから、a^2x^2-(2a-1)=0が実数解をもたない条件は、判別式をDとすると、D/4=a^2(2a-1)＜0
a^2＞0であるから、2a-1＜0→a＜1/2
また、a^2x^2-(2a-1)=0において、2a-1=0→a=1/2とすると、この部分は、a^2x^2=0
全体では、a^2x^4=0となって、x=0が4重解になります。
よって、0＜a≦1/2

参考URL：

https://math.nakaken88.com/textbook/basic-higher-degree-equation-and-multiple-root/