放物線と共通接線

質問

手持ちの参考書などで探しても、放物線のx^2の係数が存在する時の証明が見当たらなかったので、こちらで質問させて頂きます。

2つの放物線（aとpとqは実数）、
y=ax^2…(1)とy=a(x-p)^2+q…(2)が共通接線を持ち、
その接点のx座標をそれぞれ、α、βとおくと、
2つの放物線の交点のx座標は(α+β)/2になる。

ということを証明したいのですが、

共通接線をy=mx+nとおく。
これと(1)の交点はax^2-(mx+n)=0、
そして共通接線と(1)はx=αで接するのでa(x-α)^2=0、
つまりax^2-(mx+n)=a(x-α)^2

共通接線と(2)の交点はa(x-p)^2+q-(mx+n)=0、
そして共通接線と(2)はx=βで接するのでa(x-β)^2=0
つまりa(x-p)^2+q-(mx+n)=a(x-β)^2

としたのですが、ここからどうやってpとqを消したら良いのか分からず、行き詰まっております。

考え方のアドバイスと共に解説して頂けると嬉しいです。
宜しくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ax^2 - (mx+n) = a(x-α)^2　と
a(x-p)^2 + q - (mx+n) = a(x-β)^2　とが
x についての恒等式なのだから、
両辺を展開整理して、係数を比較すればいい。

どちらの式も、二次項は無条件に一致するから、
一次項と定数項が一致する条件から
a,p,q,α,β,m,n が満たすべき式が計４本出てくる。
これを使って、交点の x 座標から
p,q,m,n の４個を消すことができる。
a,α,β が残るはずだが、やってみると a も消える。

参考書に a = 1 の場合が書いてあったのなら、
Y = y/a と置くことで、その解答がそのまま流用できる。

お礼

ありがとうございます。
確かに、恒等的だから係数比較できますよね…orz
参考書の流用アドバイスも、ありがとうございました。

回答No.1

spring135

点(α,aα^2)における(1)の接線の傾きは
(dy/dx)(x=α)=(2ax)(x=α)=2aα
よって接線の方程式は
y-aα^2=2aα(x-α)
すなわち
y=2aαx-aα^2 (1)

同様に
点(β,a(β-p)^2+q)における(2)のの傾きは
(dy/dx)(x=β)=(2a(x-p))(x=β)=2a(β-p)
よって接線の方程式は
y-a(β-p)^2-q=2a(β-p)(x-β)
すなわち
y=2a(β-p)x-aβ^2+ap^2+q (2)

(1)、(2)が一致することにより
2aα=2a(β-p) (3)
-aα^2=-aβ^2+ap^2+q (4)

(3)より
p=β-α (5)
(4)より
ap^2+q=a(β^2-α^2) (6)

放物線(1),(2)の交点は

ax^2=a(x-p)^2+q
より

x=(ap^2+q)/2ap

(5),(6)を代入して

x=(α+β)/2

お礼

別解ありがとうございます。
少ない文字で示すことができるし、この方法も良いですね。