円と放物線の問題

質問

円x^2+y^2=4と放物線y=ax^2-bが２点で接するためのa,bの満たすべき条件を求めなさい。

この問題を私は下のように解いたのですが・・・。（少し省略しました）

x^2+(ax-b)^2=4
a^2x^4+(1-2ab)x^2+b^2-4=0
これはa^2(x-α)^2(x-β)^2=a^2(x-α)^2(x+α)^2になるはずだから係数比較して、αを消去して、
16a^2-4ab+1=0

しかし答えには、16a^2-4ab+1=0かつ|a|>1/4と書いてあります。後者の条件を出すことができません。わかりやすく教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.3

waseda2003 · ベストアンサー

＃１で回答した者です。

＃２の計算処理は一見うまく行なっているように見えますが，「x^2=」としてxを消去しているため，「ay^2+y+b-4a=0の判別式が０」は必要十分ではありません。
あとから十分性をチェックする難しさを考えれば，ayakakayaさんが最初に考えた方針の方が必要十分で導ける点と，（一般には）条件も見落としにくい点で適切です。

本問のように恒等式で処理できる場合は，２次式にこだわるより，「y=」にこだわった方が（自然に同値変形になるので）簡単だと思います。

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ありませんでした！どうもありがとうございました！

回答No.4

wonatak

No.2で回答したものです。
No.2でも書いたように、私もNo.1の方の解法で十分で、条件も見落としにくい点で適切だと思っています。
私は、数学には素人（一般人）であり、専門家ほどの力は無いのでそこのところは、何ともいえませんが、質問者のレベル（高校生？）を考えると2次式の方が取り組みやすいかなと思いました。No.1に異を唱えるものではありません。
但し、No.3で言われている十分性のチェックというのはどういうことでしょうか？No.2では不十分ということでしょうか。十分性のチェックは、していると考えています（確かに見落としやすいとは思いますが）。

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ありませんでした！どうもありがとうございました！

回答No.2

wonatak

No.1の方の分で十分と思いますが、4次式を扱うよりは2次式だけの方が簡単と思いますので、考えてみました。
円x^2+y^2=4と放物線y=ax^2-bが２点で接するわけですから、x^2=4-y^2とし、これをy=ax^2-bに代入すると
y=a(4-y^2)-bとなり、ay^2+y+b-4a=0の判別式をDとおくと
D=0ですから、16a^2-4ab+1=0
放物線ですからa≠0で、b=4a+1/(4a)となります。
これをy=ax^2-bに代入すると
y=ax^2-{4a+1/(4a)}で、a≠0ですから、
x^2=y/a+4+1/(4a^2)となります。これを円の方程式に代入し、
y^2+y/a+1/(4a^2)=0が得られます。
分母を払うと4a^2y^2+4ay+1=0で
(2ay+1)^2=0となり、接点のy座標は、y=-1/(2a)となります。この-2<-1/(2a)<2ですので、
|a|>1/4となります。

回答No.1

waseda2003

αをふつうに消去すれば，正解の通りになるようです。
ひょっとしたら，「αが実数」ということを忘れていたのではないでしょうか。

a^2x^4+(1-2ab)x^2+b^2-4
=a^2(x-α)^2(x+α)^2=a^2(x^2-α^2)^2

において係数を比較すると，

2a^2α^2 = 2ab-1　かつ　a^2α^4 = b^2-4

αを消去すると

2ab-1>0　・・・・・・(1)
b^2-4>0　・・・・・・(2)
(ab-1/2)^2 = a^2(b^2-4)^2　・・・・・・(3)

(3)より 16a^2-4ab+1=0　
∴ b=4a+1/(4a)　・・・・・・(4)

(1)(4)よりbを消去して
　2ab=8a^2+1/2>1
　a^2>1/16　∴ |a|>1/4　・・・・・・(5)

相加・相乗平均の不等式を(4)に適用すれば，
　a>0のときb≧2，a<0のときb≦-2
となりますが，(5)より等号成立条件を満たさないのでb>2またはb<-2となって，(2)は成立。

結局，(1)かつ(2)かつ(3)を整理すると，(4)かつ(5)すなわち 16a^2-4ab+1=0 かつ |a|>1/4 となります。

なお，(1)(2)で「≧0」ではなく「>0」となるのは，放物線と明記してあることよりa≠0， b=±2のときはy軸に関する対称性から共有点の個数が奇数個となるためです。

お礼

お礼が遅くなってしまってもうしわけありません。また教えてくださってありがとうございました！むずかしいですね。でも何度も読み返して、理解できた気がします。本当にどうもありがとうございました！