放物線y=x^2+2ax+aがx軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化するとき、この放物線の頂点Pの軌跡を求めよ

質問

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★放物線y=x^2+2ax+aがx軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化するとき、この放物線の頂点Pの軌跡を求めよ
（指針）P(x,y)とすると、x,yはaで表わされる。aを消去して、x,yの関係式を導く。

指針・解答を見て解きましたが、途中から分からなくなってしまいました…
分かりやすく説明して頂けると嬉しいです＾＾
回答よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
与えられた2次関数の式から頂点の座標を求めるところまではいいと思います。
「x軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化する」という条件を考えましょう。
これはaがとりうる値の範囲を与えることになります。

通常ならば「判別式」といきたいところですが、
グラフを考えると下に凸になるので頂点がx軸よりも下にあればよいことに気づきます。
この判別式と頂点のy座標の関係は同じことをしめしています。
すなわち「同値」ということです。

頂点のx座標とy座標をそれぞれX,Yとでもおいて、aで表します。
比較的簡単な変形でaを消去できます。
最後に、aの値には範囲がついているので、それをXの値の範囲になるよう置き換えます。

回答No.5

info22

#2です。

A#2の補足について
>こんな感じです。左矢印の部分くらいから混乱してしまいました
チャンとA#2のアドバイスの手順でやれば出来たじゃないですか？
やり方の手順を覚えて、自信をもってやりましょう。

>Pは放物線y=-x^2-xのx<-1,x>0
軌跡は
y=-x^2-x　(x<-1,x>0)

で合っていますよ。

お礼

ありがとうございます・゜・(つД｀)・゜・

がんばります…

回答No.4

naniwacchi

#1です。

a<0,1<a……(1)
x=-a
より　x<-1,x>0

x=-aなので、(1)の不等式も-aの形にしましょう。
両辺に-1をかけるので、不等号の向きに注意です。
その後、-aをxに置き換えます。

＞「逆に　この図形上の任意の点は条件を満たす」
これは「ほんとにこの図形上にあれば成り立つの？」ということを保証するものです。
いまは、2次関数という連続関数を扱っているので、特に問題ありません。
分数関数（分母が0となるような場合）などが出てくるときには、
このような検証をしないといけません。
表現を変えると、ありえない（とることのない）値を答えに含んでいないかどうかを確認しているということです。

お礼

なるほどです…

回答ありがとうございました！

回答No.3

spring135

ポイントが2つあります。
(1)y=x^2+2ax+aがx軸と異なる2点で交わるように、aの値
(2)放物線の頂点P(x,y)をaで表わす。

(1)はｙ＝0とおいた判別式が正ということからa<0またはa＞1
(2)y=x^2+2ax+a=(x+a)^2+a-a^2より頂点座標P(x,y)はx=-a, y=a-a^2
故に
y=x-x^2, x>0 またはx<-1
を図示すればよい

回答No.2

info22

>指針・解答を見て解きましたが、途中から分からなくなってしまいました…
>分かりやすく説明して頂けると嬉しいです＾＾
解いた式を全部補足に書いて頂かないと、間違い箇所がわかりませんので、
それに付いて説明も不可能です。

あなたのやった解答をそのまま補足にお書き下さい。

放物線が2点でX軸と交わるための条件
右辺=0の判別式　D＞0 →aの範囲が決まります。
頂点の座標 (x,y)=(-a,a-a^2)は分かりますね。
>aを消去して、x,yの関係式を導く。
これも出来ますね。

補足

P(x,y)とする

放物線がx軸と異なる2点で交わるための条件は
　D/4＝a^2-a＞0
これを解いて　a<0,1<a　……(1)
x^2+2ax+a=(x+a)^2-a^2+a であるから
　x=-a,y=-a^2+a
x=-aからa=-x　……(2)
これをy=-a^2+aに代入すると　y=-x^2-x
また、(2)を(1)に代入して　　　x<-1,x>0　　　　　　←

よって　Pは放物線y=-x^2-xのx<-1,x>0の部分にある
逆に　この図形上の任意の点は条件を満たす

こんな感じです。左矢印の部分くらいから混乱してしまいました(´・ω・｀)よろしくお願いします…