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大学の微分積分学の連続性の問題で困っています

教えていただきたいのは以下の問題です。 問題: f:[a,b]→ R が c∈[a,b] で連続なための必要十分条件は, [a,b] の中のすべての単調数列 {a(n)}n (単調増加,または単調減少) で c に収束するものに対して, lim f(a(n)) =f(c) が成り立つことであることを示せ n→∞ 背理法を使うらしいのですが… よろしくおねがいします。

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  • nag0720
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回答No.1

「f:[a,b]→ R が c∈[a,b] で連続」 これをε-δ論法で表現すると、 ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x[|x-c|<δ⇒|f(x)-f(c)|<ε]  -----(1) 同様に、「lim[n→∞]f(A(n))=f(c)」は ∀ε>0 ∃n0 ∀n[n>n0⇒|f(A(n))-f(c)|<ε]  -----(2) 「(1)⇒(2)」を背理法で証明するには、(2)の否定が(1)と矛盾することを示せばいいわけです。 (2)の否定は、 ∀ε>0 ∀n0 ∃n>n0 |f(A(n))-f(c)|≧ε これは、どんなn0に対しても、n>n0、|f(A(n))-f(c)|≧εとなるnが存在することを意味します。 つまり、任意のε>0に対し、|f(A(n))-f(c)|≧εとなるA(n)が無限に存在するので、 数列B(n)を次のように定義することができます。 B(n)=[n番目に|f(A(k))-f(c)|≧εとなるA(k)] この数列B(n)に沿ってxをcに近づけると、 |f(x)-f(c)|≧ε なので、(1)と矛盾することになります。 「(2)⇒(1)」の証明も同様に、 (1)の否定から、cに収束し、|f(B(n))-f(c)|≧εとなる数列B(n)を定義することができます。 数列B(n)をどのように定義するかがこの証明法の要です。

camember6
質問者

お礼

親切な回答ありがとうございます。 とても参考になりました。m(_ _)m

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