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極限
lim(n→∞）n^1/n これのやり方が分かりません。 二項定理を使うんですか？ よろしくお願いします。
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やり方が分からないということなので、やり方の道筋を示します。 a_n = n^(1/n) - 1 とします。 その上で、 n = (1 + a_n)^n >= (n(n-1)(a_n)^2) / 2 を示します。この際に (1 + a_n)^n の二項展開を使います。この式を示すことができれば、(a_n)^2 → 0 すなわち a_n → 0 を示すことができるでしょう。
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- alice_44
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回答No.2
A No.1 面白い解法ですね。 実にスッキリしている。 (1 + a[n])^n の二項展開から a[n] の二次項だけを取り出すと、 n = (1 + a[n])^n ≧ (nC2) a[n]^2 が言えて、 2/(n-1) ≧ a[n] となるんですね。 その為には、先に a[n] ≧ 0 を示して、二項展開の各項が ≧0 であることを言っておく必要がありますが。 凡庸な解法としては、 lim[n→∞] n^(1/n) = exp( lim[n→∞] (log n)/n ) から x = log n で置換して 与式 = exp( lim[x→∞] x/(exp x) ) = exp(0) = 1. という手があります。 lim[x→∞] x/(exp x) を計算するには、 分母の exp をマクローリン展開して二次項で打ち切り x/(exp x) ≦ x/(1+x+(1/2)x^2) とすればよいです。 いや、A No.1 が素晴らしい。
補足
n = (1 + a_n)^n >= (n(n-1)(a_n)^2) / 2 これって、どこから出てきたんですか？